Στην εργασία αυτή θα εξετάσουμε το θέμα των υδάτινων κυμάτων, τόσο γραμμικών όσο
και μη γραμμικών, και θα παρουσιάσουμε τη δημιουργία και τη διάδοση τους σε διάφορες
καταστάσεις, μέσω διαφορικών εξισώσεων.
Αρχικά θα ξεκινήσουμε με κάποιες βασικές έννοιες σχετικά με το μονοδιάστατο κύμα.
Θα εισάγουμε βασικά μεγέθη των κυματικών διαταραχών, όπως η περίοδος, η συχνότητα,
το μήκος κύματος και ο κυματάριθμος, καθώς και την έννοια της ταχύτητας ομάδας και
ταχύτητας φάσης.
Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τη γραμμική θεωρία κυμάτων ελεύθερης επιφάνειας.
Θα μελετήσουμε κύματα βαρύτητας, οδεύοντα και στάσιμα, καθώς και την διάδοση
ενέργειας σε αυτά. Θα εξετάσουμε κάποια φαινόμενα που οδηγούν στη διάδοση των
κυμάτων νερού. Για παράδειγμα, την παραγωγή κυμάτων από ένα κινούμενο πλοίο, την
διάθλαση των κυμάτων από αλλαγές στην τοπογραφία του βυθού (bed topography), τις
επιπτώσεις της επιφανειακής τάσης, καθώς και την αξιοποίηση της ισχύος των κυμάτων
χρησιμοποιώντας μια απλή μηχανική συσκευή.
Τέλος, θα ασχοληθούμε με τα μη γραμμικά κύματα που διαδίδονται σε υδάτινο
περιβάλλον. Θα μελετήσουμε τις μη γραμμικές εξισώσεις κυμάτων σε ρηχά ύδατα, πιο
συγκεκριμένα το πρόβλημα θραύσης φράγματος και το φαινόμενο δημιουργίας
επιφανειακού κρουστικού κύματος. Θα δούμε πως η ταχύτητα και η κυματομορφή κυμάτων
σε βαθύ νερό εξαρτώνται από το μικρό πλάτος κύματος. Επίσης θα δούμε ότι οι εξισώσεις
Korteweg-de Vries περιγράφουν τη συμπεριφορά κυμάτων με γραμμική διασπορά και μη
γραμμική κυματική βάθμωση. Στην τελευταία ενότητα θα κοιτάξουμε τα τριχοειδή κύματα σε
βαθύ νερό και θα χρησιμοποιήσουμε θεωρία complex μεταβλητών για την εξαγωγή
αναλυτικών λύσεων.
(EL)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”
(EL)
In this paper we examine water waves, both linear and nonlinear, and present their propagation through partial differential equations. Firstly, we introduce some of the generic notation of the one-dimensional wave, such as the angular frequency, the wavenumber, the wavelenght, the group and phase velocity. In addition, we study basic linear gravity waves, both progressive and standing, and consider the propagations and generation of waves in a variety of situations, such as the generation of waves by a moving ship, the harnessing of wave power, the refraction of waves by changes in bed topography. Simirarly, we examine the nonlinear water waves, by studying the nonlinear shallow water equations, for the dam break problem. Furtheromore, we show that the Korteweg-de Vries equation controls the behavior of waves, where the competing effects of linear dispersion and nonlinear wave steepening act. In the final section, we consider nonlinear capillary waves, and use complex variable theory to derive analytical solutions.
(EN)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
