Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) "Επιστήμη Δεδομένων και Μηχανική Μάθηση"
(EL)
Σε αυτή τη διπλωματική εργασία, μελετάμε το πρόβλημα του διακριτού δίκαιου
διαμοιρασμού, δηλαδή της ανάθεσης αδιαίρετων αγαθών σε παίκτες με δίκαιο τρόπο. Το
πρόβλημα πηγάζει από πλήθος εφαρμογών, από το μοίρασμα παιχνιδιών σε παιδιά μέχρι το
χώρισμα κληρονομιών, όπου συνιδιοκτησία αγαθών ή χρηματικά ανταλλάγματα δεν
επιτρέπονται. Δεδομένου ότι η δικαιοσύνη είναι μια δύσκολη ποσοτικοποιήσιμη ιδέα, πολλές
έννοιες έχουν αναπτυχθεί στο πέρασμα των χρόνων. Δυστυχώς, η παρουσία αδιαίρετων
αγαθών τις καθιστά μη εφικτές. Για την αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας, πολλές
χαλαρώσεις τους έχουν εισαχθεί τα τελευταία χρόνια. Επικεντρωνόμαστε στην, κατά
πολλούς, πιο σημαντική: το κριτήριο EFX. Ως τώρα, το EFX υπάρχει μόνο σε πολύ
περιορισμένες καταστάσεις, όπως όταν υπάρχουν το πολύ τρεις παίκτες ή όταν όλοι οι
παίκτες έχουν την ίδια συνάρτηση αποτίμησης. Ακόμη και για την προσεγγιστική εκδοχή, ο
καλύτερος γνωστός λόγος ισούται με ϕ − 1(≈ 0.618)
Η δουλειά μας οργανώνεται σε τρεις άξονες. Πρώτον, κατασκευάζουμε ένα πλαίσιο
προσέγγισης για αθροιστικές συναρτήσεις αποτίμησης το οποίο ελέγχει την αλληλεπίδραση
μεταξύ της ισχύος μια συνθήκης και της ποιότητας της προσέγγισης. Το κύριο αποτέλεσμά
μας εδώ είναι λόγος προσέγγισης 2/3 όταν οι παίκτες συμφωνούν στην κατάταξη των
πρώτων αντικειμένων. Δεύτερον, προτείνουμε μια νέα μέδοδο για παρόμοιες κατατάξεις των
αγαθών την οποία ονομάζουμε κατατάξεις σε στρώματα. Δείχνουμε ότι το EFX υπάρχει
όταν τα στρώματα έχουν μέγεθος μέχρι 3, ακόμη και για πιο γενικές συναρτήσεις
αποτίμησης από τις αθροιστικές. Τρίτον, εφαρμόζουμε τις νέες τεχνικές για να λάβουμε
εναλλακτικές απλούστερες αποδείξεις για ορισμένα από τα υπάρχοντα αποτελέσματα.
Ολοκληρώνουμε την εργασία με μία εμπειρική ανάλυση με πραγματικά δεδόμενα, που μας
δόθηκαν από την δημοφιλή ιστοσελίδα δίκαιου διαμοιρασμού Spliddit.
(EL)
In this thesis, we study discrete fair division; that is allocating indivisible goods to
agents in a fair manner. The problem is motivated by a wide range of applications, from
distributing toys to kids to splitting an inheritance, where no sharing of items or monetary
compensations are allowed. Since fairness is a hard concept to quantify, many notions have
been defined throughout the years. Unfortunately, the presence of indivisible items renders
them infeasible. As a countermeasure, a number of relaxations have been introduced more
recently. We focused on the, arguably, most compelling one: finding allocations satisfying
the EFX criterion. So far, EFX is guaranteed to exists only in very restricted settings;
most notably when there are at most three agents or when they have identical valuations.
Even for its approximation version, no progress has been made past ϕ − 1(≈ 0.618).
Our work is along three axes. Firstly, we construct an approximation framework for
additive valuations which controls tradeoffs between the strength of a condition and the
quality of the approximation. Our main result here is a 2/3 ratio assuming a common top
ranking. Secondly, we propose a new method to capture similar rankings which we call
tiered rankings. Within our model, we show that EFX exists when the size of the tier is
at most 3, even for a broader than the additive class of valuation functions. Finally, we
apply our new techniques to produce alternative simpler proofs for some existing results.
We conclude the thesis with some real world data experiments, based on data obtained
from the popular fair division website Spliddit.
(EN)
National Technical University of Athens
