Η ανάγκη ύπαρξης γνωσιολογικών και οντολογικών σταθερών στα μαθηματικά οδήγησε ήδη από την αρχαιότητα στην θέσπιση των αξιωμάτων στα διάφορα μαθηματικά πεδία. Στα πρώτα χρόνια του εικοστού αιώνα, οι διάσημοι μαθηματικοί και εκπρόσωποι διαφορετικών φιλοσοφικών ρευμάτων Gottlob Frege και David Hilbert διαφώνησαν σχετικά με τη σωστή κατανόηση του ρόλου και του γνωσιολογικού status των αξιωμάτων στις μαθηματικές θεωρίες καθώς και με τον τρόπο διαπίστωσης της συνέπειας και της ανεξαρτησίας αυτών. Η αντιπαράθεση αγγίζει μια σειρά από δύσκολες ερωτήσεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών γύρω από το τι συνιστά αξίωμα και ποιος είναι ο ρόλος του στα θεμέλια των μαθηματικών θεωριών. Αναπτύξαμε την κλασική ιδέα για τα αξιώματα της γεωμετρίας που υποστήριζε ο Frege, δηλαδή ως πεποιθήσεις πρωταρχικής δικαιολόγησης με βάση την εποπτεία, σε ένα ευρύ θεμελιοκρατικό γνωσιολογικό πλαίσιο. Έπειτα εξετάσαμε τις διαφοροποιημένες ιδέες του Hilbert ο οποίος θεωρούσε κάθε σύστημα αξιωμάτων ως έμμεσο ορισμό (implicit definition) των μαθηματικών εννοιών που προσδιορίζονται με βάση τις αμοιβαίες σχέσεις των μαθηματικών όρων μέσα στα αξιώματα. Στην συνέχεια, παραθέσαμε και σχολιάσαμε τις απόψεις του Henri Poincaré που θεωρούσε τα αξιώματα συμβάσεις οι οποίες συγκροτούν το αντικείμενο γνώσης και είναι τέτοιες ώστε να μπορούμε να τις αρνηθούμε με εναλλακτικές θεωρητικές δομές θεμελιωμένες πάνω στις αρνήσεις τους. Τέλος, παρακολουθώντας την ιδέα του Hilbert όπως αναβιώνει στην σύγχρονη εποχή εμπλουτισμένη με νέες τάσεις και απόψεις, εξετάσαμε την εναλλακτική πρόταση του Wilfrid Sellars, σχετικά με το συνθετικό a priori ο οποίος ζυγιάζει τις ήδη υπάρχουσες προσεγγίσεις σχετικά με αυτή την έννοια στις μεγάλες παραδόσεις του ορθολογισμού και του εμπειρισμού. Ο Sellars διαφωνεί με την έννοια των συμβάσεων, θεωρώντας τους έμμεσους ορισμούς των μαθηματικών εννοιών μέσα σε συστήματα αξιωμάτων, συνθετικούς a priori και συγκροτητικούς εννοιολογικών πλαισίων που προσδιορίζουν το νόημα των οριζομένων. Πιστεύει ότι συνθετικές a priori είναι εκείνες οι προτάσεις τις οποίες κάνουμε απροϋπόθετα αποδεκτές για να συγκροτήσουμε ένα πλαίσιο προσδιορισμού των εννοιών μας, ειδικότερα των επιστημονικών εννοιών μας.
(EL)
The need for epistemic and ontological constants in mathematical research and epistemology has led, since antiquity, to the establishment of various sets of axioms in various mathematical fields. In the early years of the twentieth century, the famous mathematicians and advocates of different philosophical trends, Gottlob Frege and David Hilbert, disagreed i) on the proper understanding of the role and the epistemic status of axioms in mathematical theories ii) on issues about consistency and independence of axioms. The confrontation touches a series of crucial questions in the philosophy of mathematics concerning what constitutes an axiom and what its role in the foundations of mathematical theories, how we choose it etc. We developed a rather traditional idea of the geometry’s axioms supported by Frege, according to which justification of them is based on beliefs formed in intuition. This is a foundationalist epistemic framework. We then examined Hilbert's differentiated ideas who considered each system of axioms as an implicit definition of mathematical concepts, formed on the basis of their mutual relations. We then cited and commented on the views of Henri Poincaré, who regarded the axioms as conventions that constitute the object of knowledge. Those are such propositions that we can deny them and form alternative theoretical structures based on their refusals. In the sequel, following Hilbert's idea as it is revived and reconsidered in modern times, enriched with new trends and views, we examined Wilfrid Sellars's alternative proposal on the synthetic a priori which weighs and reconciles the already existing relevant approaches to this concept in the great traditions of rationalism and empiricism. Sellars disagrees with the concept of conventions in case of axioms, considering the implicit definitions of mathematical concepts as synthetic a priori. He holds that mathematical systems of axioms are constructive conceptual frameworks that define the meanings of certain mathematical terms. He believes that synthetic a priori principles are those propositions that we make unconditionally acceptable to form a framework for defining concepts, in particular mathematical or other scientific concepts. Those propositions are neither empirical generalizations nor results of deductive reasoning. They are a priori presuppositions of scientific knowledge.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
