Ο σκοπός της διατριβής αυτής είναι να εντρυφήσουμε στην οριακή συμπεριφορά
του διανύσματος των δειγματικών κεντρικών ροπών καθώς . Ειδικότερα, θα
διερευνηθούν λεπτομερώς οι ιδιάζουσες περιπτώσεις δηλαδή όταν
Επιπρόσθετα, θα δείξουμε ότι, μεταξύ των κατανομών που έχουν πεπερασμένες
ροπές οποιασδήποτε τάξης, η ασυμπτωτική ανεξαρτησία, του δειγματικού μέσου και
της ακολουθίας χαρακτηρίζει την κανονική κατανομή. Αυτό το γεγονός
αποδεικνύει, διαισθητικά, ένα οριακό ισοδύναμο του γνωστού αποτελέσματος ότι η
ανεξαρτησία των ποσοτήτων και (για κάποιο σταθερό ), όπου η δειγματική διακύμανση, χαρακτηρίζει την
κανονικότητα. Εδώ η υπόθεση της ανεξαρτησίας περιστέλλεται στην ασυμπτωτική
ανεξαρτησία (καθώς ) αλλά, η απαίτηση της ύπαρξης όλων των ροπών και η αξίωση
ότι η πρέπει να είναι ασυμπτωτικά ανεξάρτητη από όλες τις ροπές (και όχι μόνο για
), επιβάλλει επιπρόσθετους περιορισμούς. Όμως, θα αποδείξουμε ότι για
οποιαδήποτε σταθερό , υπάρχουν (απείρως πολλές) μηκανονικές κατανομές για τις
οποίες και είναι ασυμπτωτικά ανεξάρτητα.
(EL)
The purpose of this dissertation is to give some more light on the
limiting behavior of the vector of sample central moments as In particular,
we shall investigate in some detail the singular cases, i.e., the cases where
Also we shall show that, among the distributions having finite moments of any
order, the asymptotic independence of sample mean and the sequence
characterizes the normal distribution. This fact provides, in a sense, a
limiting counterpart of the wellknown result that independence of and (for some fixed ), where is the sample variance, characterizes normality. Here the assumption
of independence is weakened to asymptotic independence (as ) but, of course,
the requirement of the existence of all moments and the fact that has to be
asymptotically independent of all (and not only ), seems to be quite restricted. However, we shall prove that for any fixed
there exist (infinitely many) nonnormal distributions for which and are
asymptotically independent.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
