Σε αρκετές εφαρμογές στις θετικές επιστήμες απαιτείται ο υπολογισμός των
οριζουσών και των υποοριζουσών πινάκων. Η ευθεία προσέγγιση προσδιορισμού όλων
των κύριων υποοριζουσών ενός πίνακα εφαρμόζοντας παραγοντοποίηση LU συνεπάγεται
μία αξιοσημείωτη πολυπλοκότητα. Επομένως, αναλυτικοί τύποι θα είναι χρήσιμοι,
όποτε αυτό μπορεί να επιτευχθεί. Αυτό είναι εφικτό, όταν έχουμε πίνακες ειδικής
δομής.
Στην παρούσα διπλωματική εργασία επικεντρώνουμε τη μελέτη μας στον υπολογισμό
υποοριζουσών πινάκων στάθμισης W(n, n-1) με μηδενικά στη διαγώνιο.
Συγκεκριμένα, παρουσιάζουμε τα έως και σήμερα γνωστά αποτελέσματα για τον
υπολογισμό υποοριζουσών πινάκων στάθμισης W(n, n-k), όπου n άρτιος και k<n,
τάξης μέχρι n-3 και αποδεικνύουμε αντίστοιχες προτάσεις για πίνακες W(n, n-1)
με μηδενικά στη διαγώνιο. Επιπλέον, για τη συγκεκριμένη κατηγορία πινάκων
αποδεικνύεται η ύπαρξη αναλυτικού τύπου υπολογισμού υποοριζουσών τάξης n-r,
όπου r<n. Μάλιστα, δίνονται δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Η πρώτη έχει ως
βασικό εργαλείο το Θεώρημα Απλοποίησης Οριζουσών, ενώ η δεύτερη προσέγγιση
γίνεται μέσω της ορθογωνιότητας των γραμμών/στηλών του πίνακα.
(EL)
In several applications in mathematical sciences is required the computation
of the determinants and minors of matrices. The direct approach for evaluating
all the principal minors of a matrix by applying LU factorizations entails a
remarkable time complexity. Thus, analytical formulas will be useful to be
derived whenever it is possible. When we have matrices of special structure as
weighing matrices, this can be achieved.
In the present master thesis we concentrate our study on the evaluation of
minors for weighing matrices W(n, n-1) with zeros on the diagonal.
Specifically, we present known results for the evaluation of minors for
weighing matrices W(n, n-k), where n is even and k<n, of order n-r, r=1, 2, 3,
and we prove analogous propositions for weighing matrices W(n, n-1) with zeros
on the diagonal. Furthermore, for this specific category of matrices, we prove
the existence of an analytical formula for the evaluation of minors of order
n-r, where n<r. In fact, two different approaches are developed. The crucial
tool of the first approach is the Determinant Simplification Theorem, while the
second one uses the orthogonality of the rows/columns.
(EN)
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa
