Η κλάση πολυπλοκότητας QMA, που ορίσθηκε από τον Watrous, το 2000, είναι το κβαντικό ανάλογο
της MA, που ορίσθηκε από τον Babai, το 1985, και η οποία είναι μία γενίκευση της κλάσης NP. Η
κλάση MA γενικεύει την NP με την εξής έννοια: η επαληθευτική διαδικασία στην κλάση MA είναι
πιθανοκρατική, ενώ στην NP είναι πλήρως ντετερμινιστική.
Το 2014, οι Grilo, Kerenidis και Sikora, απέδειξαν ότι η κβαντική απόδειξη που ανακύπτει στον
ορισμό της QMA μπορεί, σε κάθε περίπτωση, να αντικατασταθεί από μία, κατάλληλα ορισμένη,
κβαντική κατάσταση-υποσύνολο. Οι Grilo κ.ά. ονόμασαν την κλάση αυτή SQMA, για ‘subset-state
quantum Merlin-Arthur.’ ΄Αρα QMA ⊆ SQMA, και κάποιος θα μπορούσε να γράψει ότι QMA =
SQMA, μιά και ο εγκλεισμός SQMA ⊆ QMA ισχύει τετριμμένα.
Μετά από αυτό το αποτέλεσμα, από τους Grilo κ.ά., οι Fefferman και Kimmel, το 2015, απέδει-
ξαν ότι υπάρχει κάποιο κβαντικό μαντείο A—παρόμοιο με αυτό που εισήγαγαν οι Aaronson και
Kuperberg, το 2006, για να δείξουν ότι υπάρχει μαντείο A τέτοιο ώστε QMAA
1
6⊆ QCMAA—το
οποίο είναι τέτοιο ώστε QMAA = SQMAA 6⊆ QCMAA. Σημειώνουμε εδώ ότι η QCMA είναι αυτή
η έκδοση της QMA, που ορίσθηκε από τους Aharonov και Naveh, το 2002, σύμφωνα με την οποία
η προς επαλήθευση απόδειξη είναι πλήρως κλασσική, π.χ. μία συμβολοσειρά 0-1-χαρακτήρων, και
η QMA1 είναι η έκδοση τέλειας πληρότητας της QMA, δηλαδή είναι η έκδοση της QMA κατά την
οποία για κάθε ΝΑΙ απάντηση, στο εξεταζόμενο πρόβλημα απόφασης, υπάρχει μία απόδειξη που κά-
νει τον επαληθευτή να απαντήσει ΝΑΙ με πιθανότητα ίση με ένα. Στον μαντειακό τους διαχωρισμό
οι Fefferman και Kimmel, εισήγαγαν, και χρησιμοποίησαν, μία ενδιαφέρουσα διαδικασία κατά την
οποία κάποιος μπορεί να αποδείξει ότι L ∈/ QCMA, για κάποια γλώσσα L που ικανοποιεί κάποιες
συγκεκριμένες ιδιότητες.
Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα των Fefferman και Kimmel, αποδεικνύουμε ότι υπάρχει
κάποιο κβαντικό μαντείο τέτοιο ώστε SQMAA
1
6⊆ QCMAA. Σημειώνουμε εδώ ότι η κλάση SQMA1
είναι η έκδοση τέλειας πληρότητας της SQMA. Στην απόδειξή μας χρησιμοποιήσαμε την εν λόγω
διαδικασία των Fefferman και Kimmel, μία εκδοχή των βασικών μαντειακών τους κατασκευών,
όπως και το πρόβλημα απόφασης που χρησιμοποίησαν για την απόδειξη του διαχωρισμού τους.
Σημειώνουμε εδώ ότι το αποτέλεσμά μας συνεπάγεται αυτό των Fefferman και Kimmel, μιά και
ισχύει ότι SQMA1 ⊆ SQMA.
Αφού διατυπώσουμε και αποδείξουμε το αποτέλεσμά μας, κάνουμε μία παράκαμψη για να εξερευνή-
σουμε τον κόσμο των μαντειακών διαχωρισμών τόσο στον κλασσικό όσο και τον κβαντικό κόσμο.
Εξερευνούμε κάποια αποτελέσματα, και τις υποβόσκουσες μεθόδους τους, που είναι σχετικά με την
χρήση κλασσικών ή κβαντικών μαντείων σε μαντειακούς διαχωρισμούς που αφορούν σε κλασσικές
ή κβαντικές κλάσεις πολυπλοκότητας. ΄Αρα εξερευνούμε κάποιες πολύ ενδιαφέρουσες πτυχές των
διαχωριστικών αποτελεσμάτων που είναι σχετικά με σχετικιστικούς κόσμους.
Τελικά, επιστρέφουμε, στο ερευνητικό τοπίο, ώστε να προσεγγίσουμε την ερώτηση σχετικά με την
υποτιθέμενη ύπαρξη, ή όχι, ενός μαντείου A που είναι τέτοιο ώστε QMAA
1
6⊆ SQMAA
1
. Καταγρά-
φουμε τις πρώτες μας προσπάθειες, και ιδέες, μέχρι τώρα.
(EL)
The complexity class QMA, defined by Watrous, in 2000, is the quantum
analogue of MA, defined by Babai, in 1985, which, in turn, is a generalization
of the class NP. The class MA generalizes the class NP in the sense that the
verification procedure of the purported proof, put forth by the prover, is
carried out by a probabilistic machine, rather than a deterministic one—as
the definition of the class NP demands.
In 2014, Grilo, Kerenidis, and Sikora, proved that the quantum proof, in
the setting of QMA, may always be replaced by, an appropriately defined,
quantum subset state—without any conceptual loss. That is, QMA ⊆ SQMA.
Grilo et al., named their new class SQMA, for subset-state quantum MerlinArthur.
Thus, one could write that SQMA = QMA, as the inclusion SQMA ⊆
QMA holds trivially.
After this result, by Grilo, Kerenidis, and Sikora, Fefferman and Kimmel, in
2015, used this new characterization of QMA, and further proved that there
exists some quantum oracle A—similar to that Aaronson and Kuperberg
introduced, and used, in 2006, to show that QMAA
1 6⊆ QCMAA—which is
such that QMAA = SQMAA 6⊆ QCMAA. Here, QCMA is that version of QMA,
defined by Aharonov, and Naveh, in 2002, in which the purported proof
is purely-classical, that is, a bitstring, and QMA1 is the perfect completeness
version of QMA. In their separation, Fefferman and Kimmel introduced, and
used, an interesting template to obtain oracle separations against the class
QCMA.
Drawing upon this recent result, by Fefferman and Kimmel, we prove that
there exists some quantum oracle A, such that SQMAA
1 6⊆ QCMAA. We
note that the class SQMA1 is the perfect completeness version of the class
SQMA. In our proof, we used the template of Fefferman and Kimmel, a
modified version of their basic quantum oracle construction, as well as
the basic decision problem, that they themselves used for their separation.
Note that our result implies that of Fefferman and Kimmel, as the inclusion
xiii
SQMA1 ⊆ SQMA holds.
After we state and prove our result, we take a detour to explore a bit the
world of oracle separations, both in the classical and the quantum setting.
That is, we explore some results, and their underlying methods, about
classical and quantum oracles being employed for proving separations—
about classical, or quantum, complexity classes. Hence, we investigate
some gems pertaining to the, not few at all, nor uninteresting, privileged
relativized worlds.
Finally, we return, to the research setting, to approach the open question
of whether there exists some classical, or quantum, oracle A, such that
QMAA
1 6⊆ SQMAA
1
, or not. We record our efforts, and some of our first ideas,
thus far.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
