Το αξιωματικό σύστημα της πρωτοβάθμιας ZFC συνολοθεωρίας αποτελεί μία από τις
κυρίαρχες βάσεις για τα μαθηματικά, τουλάχιστον για αυτά που βασίζονται στην κλασική
λογική. Ωστόσο, μετά την "ανακάλυψη" της τεχνικής του forcing από τον Cohen, πλη-
θώρα μαθηματικών προβλημάτων αποδείχθηκαν ανεξάρτητα από τα αξιώματα της ZF C,
υποδηλώνοντας ότι η αναζήτηση νέων αξιωμάτων είναι ένα ζήτημα πρωταρχικής σημα-
σίας. Μία από τις κυρίαρχες κατηγορίες νέων αξιωμάτων είναι τα λεγόμενα αξιώματα
μεγάλων πληθαρίθμων, τα οποία μέχρι και σήμερα παίζουν καθοριστικό ρόλο στην "ε-
ξάλειψη" ορισμένων φαινόμενων ανεξαρτησίας. Επιπλέον, όχι μόνο έχουν αποκαλυφθεί
βαθιές συνδέσεις μεταξύ αυτών των αξιωμάτων και διαφόρων πεδίων των μαθηματικών,
αλλά έχει παρατηρηθεί ότι τα αξιώματα μεγάλων πληθαρίθμων σχηματίζουν μία ιεραρχία
που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να "μετρηθεί" η ισχύς συνέπειας των διαφόρων άλ-
λων αξιωμάτων που έχουν προταθεί. Σε αυτή τη διπλωματική, αρχικά παρουσιάζουμε μια
σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των μεγάλων πληθαρίθμων, περιγράφοντας τις βασικές έν-
νοιες και τα βασικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε, καθώς και σχολιάζουμε ορισμένα
ενδιαφέροντα συναφή ζητήματα. Στη συνέχεια, ακολουθώντας την έρευνα του Bagaria στο
[2], επικεντρωνόμαστε σε ορισμένες έννοιες C^(n) -πληθαρίθμων και, ειδικά, σε αυτή των
C^(n) -extendible. Προχωρώντας στο τελικό και κύριο μέρος της μελέτης μας, εξερευνούμε
την περιοχή μεταξύ των supercompact πληθαρίθμων και της Aρχής του Vopěnka, όπου
μια επίπεδο-προς-επίπεδο αντιστοιχία μεταξύ της ιεραρχίας των C^(n) -extendible πληθα-
ρίθμων και επιπέδων της Αρχής του Vopěnka αποκαλύπτεται, όπως παρουσιάζεται στην
Ενότητα 4 του [2].
(EL)
The axiomatic system of first-order ZFC set theory constitutes one of the most promi-
nent bases for mathematics; at least for classical ones. However, after the "discovery"
of Cohen’s forcing technique, a plethora of mathematical problems have been proved to
be independent of these axioms, thereby suggesting that the search for new axioms for
mathematics is an issue of paramount importance. One of the most prominent categories
of such axioms are the so-called large cardinal axioms which, up to this day, are playing
a pivotal role in "eliminating" some of these independence phenomena. Moreover, not
only there have been unveiled deep connections between such axioms and various ar-
eas of mathematics, but also it has been observed that these postulates form a hierarchy
which can be used to "measure" the consistency strength of several other axioms that
have been proposed. Now, in this thesis we first make a brief introduction to the theory of
large cardinals, outlining that way the basic concepts and tools we will be using, as well
as commenting upon some intriguing related issues. Subsequently, we follow the work of
Bagaria in [2] and we focus our attention on the notions of (some) C^(n) -cardinals; espe-
cially on that of C^(n) -extendibles. Moving to the final part and the core of our study, we
investigate the area in between supercompact cardinals and Vopěnka’s Principle, where
a level-by-level correspondence between the hierarchy of C^(n) -extendible cardinals and
strata of Vopěnka’s Principle is uncovered, as presented in Section 4 of [2].
(EN)
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa
