Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται βασικά θέματα δύο περιοχών των
μαθηματικών, της θεωρίας Ramsey και της θεωρίας τοπολογικών δυναμικών
συστημάτων, αναδεικνύοντας τη μεταξύ τους σχέση.
Στο Κεφάλαιο 2 αναπτύσσεται μια θεωρία Ramsey για ω-Ζ*-located λέξεις, δηλαδή
λέξεις ως προς άπειρο αλφάβητο που κυριαρχούνται από αμφίπλευρη ακολουθία
φυσικών αριθμών, το έναυσμα των οποίων προήλθε από την Budak-Isik-Pym
αναπαράσταση των ρητών και ως συνέπεια της θεωρίας αυτής έχουμε διαμεριστικά
αποτελέσματα για το σύνολο των ρητών αριθμών.
Στο Κεφάλαιο 3 επεκτείνουμε την κλασσική έννοια του τοπολογικού δυναμικού
συστήματος, εισάγοντας την έννοια του δυναμικού συστήματος με δείκτες από
λέξεις. Αναπτύσσουμε μια θεωρία (πολλαπλής) επανεμφάνισης για τέτοια συστήματα,
επεκτείνοντας τα θεμελιώδη αποτελέσματα των Birkhoff, Furstenberg και Weiss που
αναφέρονται σε δυναμικά συστήματα με δείκτες από φυσικούς αριθμούς. Ακόμα, στο
Κεφάλαιο 4, ορίζοντας την έννοια του ρητού δυναμικού συστήματος, παίρνουμε
ισχυρότερα αποτελέσματα επανεμφάνισης από αυτά που έπονται από τα γενικότερα
αποτελέσματα επανεμφάνισης που αφορούν τοπολογικά δυναμικά συστήματα με δείκτες
από λέξεις, παίρνοντας εφαρμογές στην τοπολογία, στη θεωρία αριθμών αλλά κι
στις διοφαντικές προσεγγίσεις.
Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 ορίζουμε την έννοια του διαμεριστικού συστήματος
αποδεικνύοντας διαμεριστικά αποτελέσματα για τέτοια συστήματα, βλέποντας τις
εκφράσεις αυτών μέσω της θεωρίας των τοπολογικών δυναμικών συστημάτων
γενικεύοντας τα αποτελέσματα των προηγούμενων κεφαλαίων.
(EL)
In this Ph.D. thesis we are dealing with fundamental problems from Ramsey
theory and topological dynamics theory, highlighting the connection between
them.
In Chapter 2 we develop in a systematic way a Ramsey theory for words, in fact
ω-Ζ*-located words, over an infinite alphabet dominated by a two-sited sequence
of natural numbers extending Carlson’s approach, and we apply this theory
exploiting the Budak-Isik-Pym representation to obtain a partition theory for
the set of rational numbers.
In Chapter 3 we prove recurrence results for topological dynamical systems
indexed by words. In this way we extend the classical theory developed by
Birkhoff, Furstenberg and Weiss of dynamical systems indexed by the natural
numbers to systems indexed by words.
In Chapter 4 we introduce the notion of a rational dynamical system and we
prove (multiple) recurrence results for such systems. We also give some
applications of these topological recurrence results to topology, to
combinatorics, to diophantine approximations and to number theory.
Finally, in Chapter 5, we introduce the notion of a partitionable system over
an infinite semigroup and we state and prove a strong partition theorem for the
semigroup corresponding to each system. We also get partition theorems for
semigroups with digital representation.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
