Τα σύνθετα υλικά περιέχουν άριστα αναμεμειγμένα συστατικά, τα οποία πιθανώς
παρουσιάζουν μια καλά ορισμένη δομή, συναντώνται σχεδόν παντού, είτε σε φυσικές
δομές είτε σε κατασκευασμένα υλικά (π.χ ξύλα, μέταλλα, κόκκαλα, πέτρες ή
τσιμέντο, κεραμικά, αφρούς κ.τ.λ). Κατασκευάζονται έτσι ώστε να έχουν
συγκεκριμένες επιθυμητές ιδιότητες που δεν παρουσιάζουν κάποια ομοιογενή μέσα.
Τα μέσα που χρησιμοποιούνται στον ηλκετρομαγνητισμό είναι συχνά σύνθετα υλικά.Η
εξέλιξη των φυσικών φαινομένων σε σύνθετα υλικά μπορεί να μοντελοποιηθεί από
Προβλήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) με περιοδική δομή. Αυτή η περιοδική δομή
οδηγεί σε πολύπλοκες καταστάσεις τόσο στην αναλυτική όσο και στην υπολογιστική
αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων, ειδικά αν η περίοδος αυτής της δομής είναι
μικρή συγκρινόμενη με το μέγεθος του πεδίου στο οποίο μελετάμε το σύστημα. Σε
τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιούμε ασυμπτωτική ανάλυση προκειμένου να πάρουμε
μια απλούστερη περιγραφή του φαινομένου, η οποία μοντελοποιεί το σύνολο των
ιδιοτήτων του υλικού.
Εάν ορίσουμε την παράμετρο δηλαδή το πηλίκο των χαρακτηριστικών μεγεθών και
των μικροδομών, τότε η ασυμπτωτική περιγραφή είναι έγκυρη καθώς το όριο . Αυτή
η ασυμπτωτική θεωρία, η οποία βασίστηκε σε τυπικά ασυμπτωτικά αναπτύγματα
σταδιακά εξελίχθηκε σε ισχυρή μαθηματική θεωρία, η οποία ονομάζεται
ομοιογενοποίηση και στοχεύει στην εύρεση της μακροσκοπικής συμπεριφοράς τέτοιων
συστημάτων. Αυτό επιτυγχάνεται αποδεικνύοντας ότι στο όριο καθώς το το φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί από ένα ΠΣΤ παρόμοιο με εκείνο του αρχικού
προβλήματος αλλά με σταθερούς συντελεστές αντί για περιοδικούς. Αυτό σημαίνει
ότι το μη-ομοιογενές υλικό αντικαθίσταται από ένα ομοιογενές κατασκεύασμα του
οποίου οι συνολικές ιδιότητες είναι μια καλή προσέγγιση των αρχικών
χαρακτηριστικών.
Άρα, η μέθοδος της ομοιογενοποίησης επιτρέπει τη μελέτη σύνθετων υλικών που
συνδέεται άμεσα με τη μελέτη προβλημάτων συνοριακών τιμών σε μέσα με περιοδική
δομή. Αν η περίοδος της δομής είναι μικρή συγκρινόμενη με το μέγεθος του πεδίου
στο οποίο λαμβάνει χώρα το φαινόμενο που μελετάμε, χρησιμοποιούμε ασυμπτωτική
ανάλυση προκειμένου να βρούμε ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα της λύσης που εξαρτάται
από μια μικρή παράμετρο.
Στόχος λοιπόν της ομοιογενοποίησης είναι η μελέτη της μακροσκοπικής
συμπεριφοράς ενός συστήματος. %Αυτό σημαίνει ότι ένα μη-ομοιογενές υλικό
αντικαθίσταται από ένα ομοιογενές, του οποίου τα χαρακτηριστικά συνιστούν μια
καλή προσέγγιση των αρχικών ιδιοτήτων του σύνθετου υλικού.
Από μαθηματικής απόψεως, οι λύσεις ενός προβλήματος συνοριακών τιμών με μη
σταθερούς συντελεστές που εξαρτώνται από μια μικρή παράμετρο συγκλίνουν (με
κατάλληλη έννοια) στη λύση ενός οριακού προβλήματος συνοριακών τιμών με
σταθερούς συντελεστές, που μπορεί πλήρως να μελετηθεί.
Στη συνέχεια, θεωρούμε τις (τοπικές ως προς το χρόνο) καταστατικές σχέσεις για
ανομοιογενή χειρόμορφα υλικά με σταθερό μέτρο χειρομορφίας. Τέτοια υλικά έχουν
σημαντικό φυσικό ενδιαφέρον (πολυμερή, μεταϋλικά). Ένα τυπικό τέτοιο μοντέλο
περιγράφει μια πολυστρωματική δόμηση από οπτικά ενεργά υλικά με αρκετά
διαφορετικό δείκτη διάθλασης, αλλά λίγο διαφορετική παράμετρο χειρομορφίας ώστε
να μπορεί θεωρηθεί σταθερή. Αν η εναλλαγή των υλικών γίνεται σε διαστάσεις πολύ
μικρότερες του μήκους κύματος, τα $\epsilon$ και $\mu$ είναι συναρτήσεις της
χωρικής (συνεχούς) μεταβλητής $x$ και είναι σημαντικό να βρεθεί το αντίστοιχο
effective (δηλ. ομοιογενές) υλικό. Η μελέτη αυτού του προβλήματος έγινε με την
μέθοδο της «περιοδικής εκδίπλωσης».
Τέλος, ασχολούμαστε με το πρόβλημα διάδοσης χρονικώς αρμονικών
ηλεκτρομαγνητικών πεδίων χωρίς πηγές, σε μια πλήρως αγώγιμη κάθετο διάνυσμα στο
σύνορο κοιλότητα Ω με σύνορο, που περιέχει διανισοτροπικό υλικό. Στο πρόβλημα
αυτό έκανα μια πλήρη φασματική μελέτη.
(EL)
The main objective of this thesis is the homogenization of partial differential
equations (mainly Maxwell’s equations) describing electromagnetic phenomena in
complex media. In particular, we study the homogenization of Maxwell’s
equations focusing on the periodic unfolding method in complex media under
Drude-Born-Fedorov type, local in time, constitutive relations.
Firstly, we formulate Maxwell’ s problem as an evolution initial value (Cauchy)
problem in a Hilbert space supplemented with the constitutive relations of a
bianisotropic medium (the most general linear medium in electromagnetics).
Further, we analyze the notion of homogenization and we apply it as examples to
equations of elliptic type in divergence form and to Maxwell’s system in
bianisotropic media.
We present also the method of periodic unfolding in the case of an elliptic
partial differential equation and in the main part of this work we consider the
problem of the well-posedness of the time-dependent Maxwell’s equations in a
Drude-Born-Fedorov type environment considering the fields to be elements of an
appropriate Hilbert space. In order to prove the existence and uniqueness we
apply the Faedo-Galerkin method and for the continuous dependence from the
initial data we use semigroup theory for operators. The rest of the main part
of the thesis deals with the homogenization of the considered problem, using
the periodic unfolding method.
In the last chapter, we examine the time-harmonic Maxwell problem in a
bianisotropic cavity, which we study by transforming it to an eigenvalue
problem.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
