Στα τέλη του 18ου αι. έως και τις αρχές του 19ου αι. οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν «νομιμοποιηθεί» στη μαθηματική κοινότητα ως μια καλά και πλήρως ορισμένη αλγεβρική δομή αποτελώντας ταυτόχρονα την Αλγεβρική ερμηνεία της Γεωμετρίας του επιπέδου. Την ίδια εποχή ξεκινάει μια προσπάθεια επέκτασης του πρώιμου διανυσματικού λογισμού από το επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο και η αναζήτηση της αντίστοιχης Αλγεβρικής δομής που θα περιέγραφε τη Γεωμετρία του χώρου αυτού. Το σύνολο των Quaternions (Tετρανίων) είναι το αποτέλεσμα αυτής της αναζήτησης. Ανακαλύφθηκαν από τον Ιρλανδό μαθηματικό Rowan William Hamilton το 1843. Κάθε Τετράνιο ορίστηκε τελικά όχι από μια τριάδα, όπως διαισθητικά θα ήταν αναμενόμενο, αλλά από μια τετράδα (α,β,γ,δ) με quaternion q=α+βi+γj+δk όπου i,j,k τα μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα και πράξεις αναλογικές των μιγαδικών. Στην παρούσα Διπλωματική:
Παρουσιάζονται αναλυτικά οι πρώτες προσπάθειες επέκτασης στον χώρο και ο τρόπος που αυτές επηρέασαν την ανακάλυψη των Τετρανίων με κυρίαρχη αυτή του Wessel
Παρουσιάζεται σταδιακά η εξέλιξη των προσπαθειών του Ηamilton, τα μαθηματικά εμπόδια που προέκυψαν και ο τρόπος που αυτά ξεπεράστηκαν, ώστε να οδηγηθεί στην ανακάλυψη των Τετρανίων όπως αυτά προκύπτουν μέσα από τη μελέτη των πρωτότυπων κειμένων
Αναλύεται το πλαίσιο θεμελίωσης της Επιστήμης της Άλγεβρας μέσα στο οποίο αναπτύχθηκε ο Λογισμός των Τετρανίων
Αναπτύσσεται η Άλγεβρα των Quaternions ως ένα Στρεβλό Σώμα και μελετώνται οι συνέπειες της μη αντιμεταθετικότητας στον πολλαπλασιασμό
Απαντάμε στο ερώτημα, αν υπάρχουν παρόμοιες Αλγεβρικές Δομές όπως αυτή των Τετρανίων και αναλύουμε τον τρόπο με τον οποίο αυτές συνδέονται με τα γνωστά Σώματα των Πραγματικών και Μιγαδικών αριθμών
Περιγράφουμε τη Γεωμετρία του τρισδιάστατου χώρου στο Αλγεβρικό πλαίσιο των Quaternions μέσω των περιστροφών και της Ομάδας SU(2)
Εξηγούμε τον τρόπο με τον οποίο το γινόμενο Τετρανίων οδήγησε στις θεμελιώδεις έννοιες Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο και τον ρόλο τους στη θεμελίωση και εξέλιξη του σύγχρονου Διανυσματικού λογισμού (Gibbs-Heaviside)
Συνδέουμε τα Τετράνια με τις Φυσικές επιστήμες
(EL)
At the end of the 18th c. until the beginning of the 19th c. the complex numbers were “legalized” in the field of the mathematical community as a perfect and fully specific algebraic structure, constituting at the same time the algebraic interpretation of plane Geometry. It was during the same period that the attempt of extending the early Vector Calculus fron its 3-dimensional aspect began, together with the quest of the corresponding algebraic structure that would certainly describe the Geometry of that field. The Quaternions are the result of that quest – discovered by the Irish mathematician Rowan William Hamilton in 1843. Each quaternion was finally defined by quadruples (α,β,γ,δ) - and not by triplets triads, as it would have been expected - with quaternion q=α+βi+γj+δk, where i,j,k are the unit rectangular vectors. In this thesis:
We present the first attempts of space extension as well as the way that these influenced the discovery of the Quaternions
We present the gradual evolution of Hamilton΄s attempts along with the mathematical obstacles that emerged, as well as the way they were surpassed so that we were led to the Quaternions, through the study of the original texts
We analyse the framework of the foundation of the science of Algebra in which the calculus of Quaternions evolved
The Algebras of the Quaternions is developed as skew field along with the consequences of the commutative property in multiplication
We give the answer to the question whether there are similar algebraic structures such as the one of the Quaternions.We also analyse the way that they are connected to the real and complex numbers
We describe the 3-dimensional geometry within the algebraic frame of Quaternions through the rotation group SU(2)
We explain the way through which the product of the Quaternions led to the fundamental notions of the dot and cross product as well as their role in the foundation and evolution of the contemporary Vector Calculus (Gibbs-Heaviside)
We associate the Quaternions with the Natural Sciences
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
