Οι τυχαίες προβολές αποτελούν μια απο τις πιο διαδεδομένες μεθόδους για το χειρισμό δεδομένων μεγάλης διάστασης. Ξεκινώντας από το περίφημο Johnson-Lindenstrauss Lemma, τέτοιου είδους προβολές έχουν μελετηθεί αρκετά για την Ευκλείδια (L2) μετρική, και πολύ λιγότερο για τη μετρική Μανχάταν (L1). Σε αυτή την εργασία εστιάζουμε στο πρόβλημα του προσεγγιστικού κοντινότερου γείτονα στη μετρική Μανχάταν, εκμεταλλεύοντας την αποφαντική εκδοχή του προβλήματος, που λέγεται προσεγγιστικός κοντινός γείτονας και επιβάλει ένα (περίπου) λογαριθμικό κόστος.
Το 2007, οι Indyk και Naor εισήγαγαν την έννοια των εμβυθίσεων που διατηρούν τον κοντινότερο γείτονα (nearest neighbor-preserving embeddings). Οι εμβυθίσεις αυτές είναι τυχαιοκρατικές και εγγυόνται για την αλλοίωση μόνο N αποστάσεων (μεταξύ ενός σημείου-query και N σημείων), αντί για όλα τις δυνατές O(N^2). Τέτοιου είδους εμβυθίσεις υπάρχουν για τις μετρικές L2 και L1, καθώς και για διπλασιάζοντα (doubling) υποσύνολα της L2.
Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μια συνάρτηση εμβύθισης για την μείωση διάστασης, η οποία διατηρεί τον κοντινό γείτονα (near neighbor-preserving) για διπλασιάζοντα υποσύνολα της L1. Η τεχνική που εφαρμόζουμε είναι να προβάλουμε τυχαία όχι τα ίδια τα σημεία, αλλά ένα σύνολο αντιπροσώπων τους. Μελετούμε δύο είδη αντιπροσώπων, τα approximate nets και τα randomly shifted grids, και τα συγκρίνουμε ως προς την νέα διάσταση και το χρόνο υπολογισμού της συνάρτησης εμβύθισης.
(EL)
The approximate nearest neighbor problem is one of the fundamental problems in computational geometry and has received much attention during the past decades. Efficient and practical algorithms are known for data sets of low dimension. However, modern, high-dimensional data cannot be handled by these algorithms, because of the so called "curse of dimensionality". A new theory for approximate nearest neighbors in high dimensions emerged with an influential paper by Indyk and Motwani, in 1998, yielding algorithms that depend polynomially on the dimension.
Nevertheless, is has been realized that designing efficient ANN data structures is closely related with dimension-reducing embeddings. One popular dimension reduction technique is randomized projections. Starting with the celebrated Johnson-Lindenstrauss Lemma, such projections have been studied in depth for the Euclidean (L2) metric and, much less, for the Manhattan (L1) metric. In 2007, Indyk and Naor, in the context of approximate nearest neighbors, introduced the notion of nearest neighbor-preserving embeddings. These are randomized embeddings between two metric spaces with guaranteed bounded distortion only for the distances between a query point and a point set. Such embeddings are known to exist for both L2 and L1 metrics, as well as for doubling subsets of L2.
In this thesis, we consider the approximate nearest neighbor problem in doubling subsets of L1. We exploit the decision-with-witness version, called approximate near neighbor, which incurs a roughly logarithmic overhead, and we propose a dimension reducing, near neighbor-preserving embedding for doubling subsets of L1. Our approach is to represent the point set with a carefully chosen covering set, and then apply a random linear projection to that covering set, using a matrix of Cauchy random variables. We study two cases of covering sets: approximate nets and randomly shifted grids, and we discuss the differences between them in terms of computing time, target dimension, as well as their algorithmic implications.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
