Αυτή η διπλωματική εργασία εστιάζει στον πολύπλοκο κόσμο της διαφορικής γεωμετρίας εξετάζοντας εκτενώς το Θεώρημα του Obata, τις επεκτάσεις του, τις σχέσεις του και τις ομοιότητές του με άλλα σημαντικά θεωρήματα στη Γεωμετρία Riemann. Το Θεώρημα του Obata, ένα βασικό αποτέλεσμα στη γεωμετρία Riemann, καθιερώνει μια βαθιά σύνδεση μεταξύ της καμπυλότητας μιας πολλαπλότητας Riemann και της συμπεριφοράς των ιδιοτιμών της Λαπλασιανής του. Μέσα από μια προσεκτική εξέταση της προέλευσης, των αποδείξεων και των επιπτώσεών του, αυτή η έρευνα αποκαλύπτει τις βαθιές μαθηματικές του ρίζες και αποκαλύπτει τη σημασία του στον ευρύτερο πλαίσιο της διαφορικής γεωμετρίας. Η διατριβή παρουσιάζει όχι μόνο μια αυστηρή ανάλυση της αρχικής απόδειξης του Obata, αλλά εξετάζει επίσης τις συνακόλουθες εξελίξεις που έχουν προκύψει στη μαθηματική συζήτηση. Εξερευνώντας την πολύπλοκη αλληλεπίδραση μεταξύ καμπυλότητας, ισομετριών και ιδιοτιμών, αυτή η μελέτη συντελεί στην περισσότερη κατανόηση των γεωμετρικών και τοπολογικών ιδιοτήτων που βρίσκονται στη βάση των πολλαπλοτήτων Riemann.
(EL)
This master’s thesis delves into the intricate realm of differential geometry by comprehensively investigating Obata’s Theorem, its extensions, relations and similarities to other important theorems in Riemannian Geometry. Obata’s Theorem, a fundamental result in Riemannian geometry, establishes a profound connection between the curvature of a Riemannian manifold and the behavior of the eigenvalues of the Laplace operator under isometric deformations. Through a meticulous examination of the theorem’s origins, proofs, and implications, this research uncovers its deep-seated mathematical foundations and unveils its significance in the broader context of differential geometry. The thesis not only presents a rigorous exposition of Obata’s original proof but also explores subsequent developments that have emerged in the mathematical discourse. By elucidating the intricate interplay between curvature, isometries, and eigenvalues, this study contributes to a more profound understanding of the geometric and topological properties underlying Riemannian manifolds.
(EN)
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa
