Le premier Chapitre présente les axes principaux de recherche ainsi que les problèmes traités dans cette thèse. Plus precisément, il expose une synthèse sur le sujet, en y donnant les propriétés essentielles poúr la bonne comprehension de cette étude, accompagné des références bibliographiques le plus importantes. Il présente également les motivations de ce travail en précisant les contributions originales dans ce domaine. Le deuxième Chapitre est composé d’une recherche originale sur l’ estimation du risque sismique, dans la zone du nord de la mer Égeé (Grèce), en faisant usage de la théorie des processus semi-markoviens àtemps continue. Il propose des estimateurs des mesures importantes qui caracterisent les processus semi-markoviens, et foúrnit une modélisation de la prévision de l’instant de réalization d’un séisme fort ainsi que la probabilité et la grandeur qui lui sont associées. Les Chapitres 3 et 4 comprennent une première tentative de modélisation du processus de generation des séismes au moyen de l’application d’un temps discret des modèles cachés markoviens et semi-markoviens, respectivement. Une méthode d’ estimation nonparamétrique est appliquée, qui permet de révéler des caractéristiques fondamentales du processus de génération des séismes, difficiles à détecter autrement. Des quantités importantes concernant les niveaux des tensions sont estimées au moyen des modèles proposés. Le Chapitre 5 décrit les résultats originaux du présent travail à la théorie des processus stochastiques, c’est-à-dire l’ étude et l’estimation du ‘‘Intensité du temps d’entrèe en temps discret (DTIHT)’’ poúr la première fois dans des chaînes semi-markoviennes et des chaînes de renoúvellement markoviennes cachées. Une relation est proposée poúr le calcul du DTIHT et un noúvel estimateur est présenté dans chacun de ces cas. De plus, les propriétés asymptotiques des estimateurs proposés sont obtenues, à savoir, la convergence et la normalité asymptotique. Le Chapitre 6 procède ensuite à une étude de comparaison entre le modèle markovien cache et le modèle semi-markovien caché dans un milieu markovien et semi-markovien en vue de rechercher d’éventuelles différences dans leur comportement stochastique, déterminé à partir de la matrice de transition de la chaîne de Markov (modèle markovien caché) et de la matrice de transition de la chaîne de Markov immergée (modèle semi-markovien caché). Les résultats originaux concernent le cas général oú les distributions sont considérées comme distributions des temps de séjoúr ainsi que le cas particulier des modèles qui sont appliqués dans les chapitres précédents oúúles temps de séjoúr sont estimés de manière nonparamétrique. L’importance de ces différences est specifiée à l’aide du calcul de la valeur moyenne et de la variance du nombre de sauts de la chaîne de Markov (modèle markovien caché) oú de la chaîne de Markov immergée (modèle semi-markovien caché) poúr arriver dans un état donné, poúr la première fois. Enfin, le Chapitre 7 donne des conclusions génèrales en soúlignant les points les plus marquants et des perspectives poúr développements futurs.
Το πρώτο κεϕάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της παρούσας διατριβής κι έχει ως πρωταρχικό σκοπό να παρουσιάσει το αντικείμενο της. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται συνοπτικά προηγούμενες σχετικές μεθοδολογίες, οι κύριοι στόχοι και τα επιτεύγματα της διατριβής καθώς και η συμβολή της στο πεδίο που πραγματεύεται. Στο δεύτερο κεϕάλαιο μελετάται κι εφαρμόζεται ένα ημι-Μαρκοβιανό μοντέλο συνεχούς χρόνου με στόχο την εκτίμηση της σεισμικής επικινδυνότητας στην περιοχή του Β. Αιγαίου (Ελλάδα). Σημαντικά χαρακτηριστικά της ημι-Μαρκοβιανής διαδικασίας εκτιμώνται, παρέχοντας προγνωστικά αποτελέσματα σχετικά με το χρόνο γένεσης, την πιθανότητα γένεσης και το μέγεθος του επερχόμενου ισχυρού σεισμού. Τα κεφάλαια 3 και 4 περιλαμβάνουν μια πρώτη προσπάθεια μοντελοποίησης της διαδικασίας γένεσης των σεισμών μέσω της εφαρμογής κρυϕών Μαρκοβιανών και κρυϕών ημι-Μαρκοβιανών μοντέλων σε χρόνο διακριτό, αντίστοιχα. Με την εφαρμογή μιας μη-παραμετρικής μεθόδου εκτίμησης, βασικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας γένεσης των σεισμών αποκαλύπτονται που είναι δύσκολο να ανιχνευθούν διαφορετικά. Σημαντικές ποσότητες που αφορούν στα επίπεδα του πεδίου των τάσεων εκτιμώνται μέσω των προτεινόμενων μοντέλων. Το κεϕάλαιο 5 περιγράφει την κύρια συνεισφορά της διατριβής στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, που είναι ο υπολογισμός και η εκτίμηση του ρυθμού χρόνου εισόδου (DTIHT) για πρώτη φορά σε ημι-Μαρκοβιανές αλυσίδες και κρυφές Μαρκοβιανές αλυσίδες ανανέωσης. Προτείνεται μια σχέση για τον υπολογισμό του DTIHT και παρουσιάζεται ένας στατιστικός εκτιμητής σε καθεμία από τις δύο περιπτώσεις. Επιπλέον, αποδεικνύονται οι ασυμπτωτικές ιδιότητες των προτεινόμενων εκτιμητών, συμπεριλαμβανομένης της ισχυρής συνέπειας και της ασυμπτωτικής κανονικότητας. Το κεϕάλαιο 6, εν συνεχεία, πραγματεύεται τη σύγκριση μεταξύ του κρυϕού Μαρκοβιανού μοντέλου και του κρυϕού ημι-Μαρκοβιανού μοντέλου σε ένα Μαρκοβιανό και ημι-Μαρκοβιανό περιβάλλον με στόχο την αναζήτηση πιθανών διαφορών της στοχαστικής τους συμπεριφοράς που καθορίζεται μερικώς από τους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης τους. Τα κύρια αποτελέσματα αναϕέρονται στη γενική περίπτωση όπου συγκεκριμένες κατανομές θεωρούνται ως κατανομές των ενδιάμεσων χρόνων αλλά και στην ειδική περίπτωση των μοντέλων που εφαρμόζονται στα προηγούμενα κεφάλαια, όπου οι ενδιάμεσοι χρόνοι εκτιμώνται μη παραμετρικά. Η σημαντικότητα αυτών των διαφορών γίνεται αντιληπτή μέσω του υπολογισμού της μέσης τιμής και της διασποράς του πλήθους των βημάτων που η Μαρκοβιανή αλυσίδα (κρυϕό Μαρκοβιανό μοντέλο) και η ενσωματωμένη Μαρκοβιανή αλυσίδα (κρυϕό ημι-Μαρκοβιανό μοντέλο) χρειάζονται προκειμένου να μεταβούν για πρώτη φορά σε μια ορισμένη κατάσταση. Τέλος, στο κεϕάλαιο 7 επιχειρείται μια σύντομη ανακεφαλαίωση των βασικών συμπερασμάτων της διατριβής και παρουσιάζονται μελλοντικές προεκτάσεις της παρούσας έρευνας.
The first Chapter describes the definition of the subject under study, the current state of science in this area and the objectives. In the second Chapter, continuous-time semi-Markov models are studied and applied in order to contribute to seismic hazard assessment in Northern Aegean Sea (Greece). Expressions for different important indicators of the semi-Markov process are obtained, providing forecasting results about the time, the space and the magnitude of the ensuing strong earthquake. Chapters 3 and 4 describe a first attempt to model earthquake occurrence by means of discrete-time hidden Markov models (HMMs) and hidden semi-Markov models (HSMMs), respectively. A nonparametric estimation method is followed by means of which, insights into features of the earthquake process are provided which are hard to detect otherwise. Important indicators concerning the levels of the stress field are estimated by means of the suggested HMM and HSMM. Chapter 5 includes our main contribution to the theory of stochastic processes, the investigation and the estimation of the discrete-time intensity of the hitting time (DTIHT) for the first time referring to semi-Markov chains (SMCs) and hidden Markov renewal chains (HMRCs). A simple formula is presented for the evaluation of the DTIHT along with its statistical estimator for both SMCs and HMRCs. In addition, the asymptotic properties of the estimators are proved, including strong consistency and asymptotic normality. In Chapter 6, a comparison between HMMs and HSMMs in a Markov and a semi-Markov framework is given in order to highlight possible differences in their stochastic behavior partially governed by their transition probability matrices. Basic results are presented in the general case where specific distributions are assumed for sojourn times as well as in the special case concerning the models applied in the previous chapters, where the sojourn time distributions are estimated nonparametrically. The impact of the differences is observed through the calculation of the mean value and the variance of the number of steps that the Markov chain (HMM case) and the EMC (HSMM case) need to make for visiting for the first time a particular state. Finally, Chapter 7 presents concluding remarks, perspectives and future work.
