Οι αναλυτικές λύσεις σε κλειστή μορφή είναι πολύ σπάνιες στην θεωρία των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ακόμα και στις γραμμικές εξισώσεις οι τεχνικές που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι αρκετά περιορισμένες, ειδικά όταν δουλεύουμε σε μεγαλύτερες διαστάσεις ή σε σύνθετα χωρία ολοκλήρωσης. Έτσι, χρειαζόμαστε εναλλακτικές λύσεις με σκοπό να λάβουμε, έστω και, ποιοτικές απαντήσεις για τις ιδιότητες των λύσεων των μη γραμμικών συστημάτων. Σκοπός της παρούσας μελέτης είναι η ανάλυση ποιοτικών χαρακτηριστικών των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα φάσης. Στην θεωρία των δυναμικών συστημάτων, ένας χώρος φάσης είναι ένας χώρος στον οποίο παρουσιάζονται όλες οι πιθανές καταστάσεις ενός συστήματος, με κάθε πιθανή κατάσταση να αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο στο χώρο φάσης. Μέσα από τα διαγράμματα φάσης μπορούμε να διακρίνουμε τα χαρακτηριστικά των λύσεων πολύ αποτελεσματικά χωρίς να χρησιμοποιήσουμε αναλυτικές τεχνικές οι οποίες συνήθως δεν υπάρχουν. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο αυτή μπορούμε να λάβουμε διάφορα χαρακτηριστικά των λύσεων: μονοτονία, περιοδικότητα, ασυμπτωτική συμπεριφορά κλπ. Στην θεωρία των εξισώσεων μη γραμμικής εξέλιξης ξεχωρίζει ένα συγκεκριμένο σύνολο εξισώσεων λόγω των αξιοσημείωτων ιδιοτήτων τους: οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις μέσω του Μετασχηματισμού της Αντίστροφης Σκέδασης (Inverse Scattering Transfrom). Αυτές οι εξισώσεις είναι σχετικά περιορισμένες σε αριθμό αλλά παρουσιάζουν πλούσια πηγή μελέτης μέσω των ιδιοτήτων τους. Κύρια παραδείγματα είναι η μη γραμμική εξίσωση Schrodinger και η εξίσωση Korteweg-de Vries. Εμφανίζονται σε πολλά φυσικά φαινόμενα που κυμαίνονται από τα υδάτινα κύματα έως την οπτική και το πλάσμα καθώς και σε πολλά άλλα, κερδίζοντας δικαιωματικά τον τίτλο Καθολικές εξισώσεις (Universal equations). Αυτές οι σημαντικές εξισώσεις μαζί με την πλήρη εξίσωση του απλού εκκρεμούς θα αποτελέσουν το κύριο αντικείμενο της μελέτης μας: χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα φάσης θα κατασκευάσουμε όλες τις πιθανές λύσεις σε αυτά τα συστήματα αποφεύγοντας πολύπλοκες μαθηματικές τεχνικές και ειδικές συναρτήσεις, οι οποίες εμφανίζονται αναπόφευκτα κατά την μελέτη τους.
(EL)
Closed form solutions are very rare in the theory of nonlinear partial differential equations. Even in linear equations the techniques we have to obtain them are rather limited, especially when working in higher dimensions and complicated domains. As such, alternatives are often sought to obtain qualitative answers for the properties of the solutions of nonlinear systems. The objective of the present study is to analyze the quantitative features of common nonlinear partial differential equations by using phase diagrams. In dynamical system theory, a phase space is a space in which all possible states of a system are represented, with each possible state corresponding to one unique point in the phase space. Through phase diagrams we can distinguish the features of the equations' solutions very efficiently without employing analytical techniques that usually do not even exist. Using this method several features of the solution may be obtained: monotonicity, periodicity, asymptotic behavior etc. In the theory of nonlinear evolution equations a particular set of equations stands out due to their remarkable properties: the integrable equations under the Inverse Scattering Transform. These equations are rather limited in numbers but exhibit an abundant source of study through their properties. Prime examples are the nonlinear Schrodinger and Korteweg-de Vries equations. They appear in many physical contexts ranging from water waves to optics, plasmas and many others, rightfully gaining the title Universal equations. These important equations along with the full pendulum equation will be the focus of our study: using phase diagrams we will construct all possible solutions to these systems avoiding complicated mathematical techniques and special functions that appear, inevitably, otherwise in their study.
(EN)
