Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η αυστηρή θεμελίωση στα πλαίσια της Μαθηματικής Ανάλυσης ορισμένων από τις βασικότερες έννοιες της Στοχαστικής Ανάλυσης και η παρουσίαση της πιο γνωστής, ίσως, εφαρμογής της στα Μαθηματικά Χρηματοοικονομικά.
Για το σκοπό αυτό, αναφέρονται στο Πρώτο Κεφάλαιο οι βασικές έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Θεωρίας Μέτρου (συνήθως χωρίς απόδειξη, αλλά με σαφείς παραπομπές) πάνω στις οποίες στηρίζεται η Στοχαστική Ανάλυση. Στο Δεύτερο Κεφάλαιο, ορίζεται η έννοια της κίνησης Brown σε μία και σε περισσότερες διαστάσεις, αποδεικνύεται αναλυτικά η ύπαρξη τέτοιων στοχαστικών διαδικασιών και μελετώνται οι ιδιότητες των τροχιών δείγματός τους. Ειδικότερα, αποδεικνύεται ότι αυτές είναι σχεδόν βέβαια συνεχείς, αλλά πουθενά διαφορίσιμες.
Στο Τρίτο Κεφάλαιο ορίζεται το Ολοκλήρωμα Ito ως προς μια κίνηση Brown και αποδεικνύονται, σε μία και περισσότερες διαστάσεις, ο Κανόνας του Γινομένου και ο Κανόνας της Αλυσίδας του Ito, θεμελιώνοντας έτσι τα βασικότερα εργαλεία του Λογισμού Ito.
Με χρήση αυτών, εισάγεται στο Τέταρτο Κεφάλαιο η έννοια της Στοχαστικής Διαφορικής Εξίσωσης και αποδεικνύεται η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του αντίστοιχου προβλήματος αρχικών τιμών. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί την κορύφωση του θεωρητικού, αναλυτικού μέρους της εργασίας.
Στο Πέμπτο Κεφάλαιο, μετά από μια πολύ σύντομη εισαγωγή κάποιων στοιχειωδών εννοιών των Μαθηματικών Χρηματοοικονομικών, με κυριότερες αυτές του arbitrage και του hedging, παρουσιάζεται η μέθοδος καθορισμού της τιμής ενός δικαιώματος προαίρεσης αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου, ως ένα από τα απλούστερα παραδείγματα της χρήσης του Λογισμού Ito στα Μαθηματικά Χρηματοοικονομικά. Η μέθοδος αυτή οδηγεί σε ένα πρόβλημα τελικών και συνοριακών τιμών για μια ομογενή γραμμική Μερική Διαφορική Εξίσωση δεύτερης τάξης, παραβολικού τύπου, σε δύο μεταβλητές, την εξίσωση Black-Scholes, η αρχική τιμή της λύσης της οποίας είναι η ζητούμενη τιμή. Κύρια πηγή και οδηγός για την παραπάνω ανάπτυξη του θέματος της διατριβής, αποτέλεσε το συνοπτικό έργο An Introduction to Stochastic Differential Equations του L.C. Evans, βλέπε [11], αλλά για μια πληρέστερη απόδειξη των πιο τεχνικών αποτελεσμάτων χρησιμοποιήθηκαν και άλλα, αναλυτικά πιο αυστηρά, έργα θεμελίωσης του Λογισμού Itoo, τα οποία και αναφέρονται στα αντίστοιχα σημεία.
(EL)
The aim of the present thesis, titled Stochastic Analysis and an application to Mathematical Finance, is to establish rigorously, within the framework of Mathematical Analysis, some of the most basic notions of Stochastic Analysis and to present its, probably, best known application in Mathematical Finance.
To this end, the basic notions of Probability Theory and Measure Theory, upon which Stochastic Analysis is based, are presented in the First Chapter (mostly without proofs, but providing instead specific references). In the Second Chapter, the notion of Brownian motion, in one or several dimensions, is introduced, a proof of the existence of such stochastic processes is given, and the properties of their sample paths are studied. In particular, it is shown that these are almost surely continuous but nowhere differentiable.
In the Third Chapter, Ito’s Integral with respect to a Brownian motion is defined and Ito’s Product and Chain Rules are proven, in one and several dimensions, thus establishing the most fundamental tools of Ito’s Calculus.
With their use, in the Fourth Chapter, the notion of a Stochastic Differential Equations is introduced and the existence and uniqueness of the solution to the corresponding initial value problem is proven. This chapter constitutes the culmination of the theoretic, analytic part of the thesis.
In the Fifth Chapter, after a very short introduction of some elementary notions of Mathematical Finance, most importantly of those of arbitrage and hedging, the method to determine the value of a European call option is presented, as one of the most simple examples for the use of Ito Calculus in Mathematical Finance. This method leads to a terminal and boundary value problem for a homogeneous linear Partial Differential Equation of second order and parabolic type in two variables, the Black-Scholes equation, the initial value of its solution being the sought-after value.
The main source and guide for the above exposition of the subject of the thesis has been the concise work An Introduction to Stochastic Differential Equations by L.C. Evans, see [11], but for a more complete proof of the more technical results also other, analytically more rigorous, works concerning the foundation of Ito Calculus have been used, which are cited at the relevant places.
(EN)
