Έστω f : M ! N μία λεία απεικόνιση μεταξύ δύο πολυπτυγμάτωνM και N. Ένα ενδιαφέρον
ερώτημα είναι να βρεθούν κανονικοί εκπρόσωποι στην κλάση ομοτοπίας της απεικόνισης f. Με
την έννοια κανονικό εκπρόσωπο εννοούμε μία απεικόνιση στην κλάση ομοτοπίας της απεικόνισης
f, η οποία είναι κρίσιμο σημείο ενός κατάλληλου συναρτησιακού. Μία πιθανή προσέγγιση
είναι είναι η ροή θερμότητας, που μελετήθηκε από τους Eells και Sampson στο [19]. Αν το
πολυπτύγμαM είναι συμπαγές και τοN είναι επίσης συμπαγές με αρνητική καμπυλότητα τομής,
οι Eells και Sampson [19] απέδιξαν σύγκλιση της ροής θερμότητας σε μια αρμονική απεικόνιση.
Κάτω λοιπόν από τέτοιες υποθέσεις μπορούν να βρεθούν αρμονικοί εκπρόσωποι μίας δοσμένης
κλάσης ομοτοπίας. Αυτή η προσέγγιση όμως είναι δυνατή όταν το πεδίο τιμών έχει αρνητική
καμπυλότητα. Ωστόσο, δεν αναμένεται σύγκλιση της ροής θερμότητας στην περίπτωση που το
πεδίο τιμών είναι θετικά καμπυλομένο, όπως για παράδειγμα για απεικονίσεις μεταξύ σφαιρών,
αφού η ροή θερμότητας συνήθως αναπτύσσει ιδιομορφίες.
Υπάρχει ένα άλλο ενδιαφέρον συναρτησιακό, που μπορεί να θεωρηθεί στον χώρο των λείων
συναρτήσεων. Δοσμένης μίας απεικόνισης f : M ! N μεταξύ πολυπτυγμάτων Riemann M
και N, συμβολίζουμε με
(f) :=
{(
x; f(x)
)
2 M N : x 2 M
}
το γράφημα στο πολύπτυγμα γινόμενο M N. Ακολουθώντας την ορολογία που εισήχθη
από τον Schoen [38], μία απεικόνιση λέγεται ελαχιστική όταν το γράφημά της είναι ελαχιστικό
υποπολύπτυγμα. Έτσι, οι ελαχιστικές απεικονίσεις είναι τα κρίσιμα σημεία του συναρτησιακού
του όγκου γραφημάτων σε πολυπτύγματα γινόμενο. Ένας τρόπος παραμόρφωσης μίας απεικόνισης f : M ! N μεταξύ συμπαγών πολυπτυγμάτων
Riemann M και N είναι παραμορφώνοντας το γράφημα (f) της f στο πολύπτυγμα γινόμενο
M N μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας. Εάν η παραμόρφωση μέσω της ροής μέσης
καμπυλότητας εξακολουθεί να παραμένει γράφημα μέχρι κάποια χρονική στιγμή T > 0, τότε
λαμβάνουμε μία μονοπαραμετρική οικογένεια διαφορίσιμων απεικονίσεων ft : M ! N, t 2
[0; T), τέτοια ώστε f0 = f. Στην περίπτωση που η εξέλιξη του γραφήματος υπάρχει για όλους
τους χρόνους και εξακολουθεί να παραμένει γράφημα, τότε προκύπτει μια ομοτοπία απο την
αρχική απεικόνιση f σε μία ελαχιστική απεικόνιση f1: M ! N, καθώς το t τείνει στο άπειρο.
Το πρώτο αποτέλεσμα σχετικά με εξέλιξη γραφημάτων στον ευκλείδειο χώρο μέσω της ροής
μέσης καμπυλότητας, οφείλεται τους Ecker και Huisken [18]. Συγκεκριμένα, απέδειξαν ότι η ρόη
μέσης καμπυλότητας ένος ολικού γραφήματος συνδιάστασης 1 στον ευκλείδειο χώρο υπάρχει
για όλους τους χρόνους. Επιπλέον, κάτω από υποθέσεις για τη γεωμετρία του γραφήματος
στο άπειρο, απέδειξαν και σύγκλιση της ρόης σε υπερεπίπεδο. Όμως, η πολυπλοκότητα της
κάθετης δέσμης, περιπλέκει την διαδικασία σε μεγαλύτερες συνδιαστάσεις. Κατά συνέπεια,
αποτελέσματα ανάλογα με το [18] δεν είναι διαθέσιμα χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Ωστόσο, οι
ιδέες που αναπτύχθηκαν στο [18] άνοιξαν μία νέα εποχή στη μελέτη της ροής μέσης καμπυλότητας
υποπολυπτυγμάτων οποιαδήποτε διάστασης και συνδυάστασης. Για παράδειγμα αναφέρουμε τα
άρθρα [6, 7, 9, 28, 30, 34–37, 41, 43–45, 47–49].
Στόχος της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι να μελετήσουμε την εξέλιξη μέσω της
ροής μέσης καμπυλότητας ισεμβαδικών απεικονίσεων μεταξύ συμπαγών επιφανειών Riemann
με σταθερή καμπυλότητα. Πιο συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:
Θεώρημα: Έστω Μ και Ν δύο συμπαγείς επιφάνειες Riemann με σταθερή καμπυλότητα τομής
και f : M ! N ένας ισεμβαδικός διαφορομορφισμός. Τότε, υπάρχει μια οικογένεια λείων
ισεμβαδικών απεικονίσεων ft : M ! N, t 2 [0;1), f0 = f, τέτοια ώστε τα γραφήματα (ft)
της f να εξελίσονται μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας στο πολύπτυγμα γινόμενο M N.
Επιπλέον, ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
(a) Αν > 0, τότε η οικογένεια γραφημάτων (ft) συγκλίνει ομαλά στο γράφημα (f1) μιας
ισομετρίας f1 : M ! N.
(b) Αν = 0, τότε η οικογένεια γρφημάτων (ft) συγκλίνει ομαλά στο γράφημα (f1) μιας
αφινικής απεικόνισης f1 : M ! N.
(c) Αν < 0, τότε η οικογένεια (ft) συγκλίνει ομαλά σε μία ελαχιστική επιφάνεια M1 στο
πολύπτυγμα γινόμενο M N.
Το παραπάνω αποτέλεσμα οφείλεται στους K. Smoczyk [41] και M.-T. Wang [46,49]. Η απόδειξη
που παρουσίαζουμε σε αυτή τη διατριβή ακολουθεί ιδέες που αναπτύχθηκαν στο άρθρο [34].
Κάθε διαφορομορφισμός είναι ισοτοπικός με έναν ισεμβαδικό διαφορομορφισμό. Συνεπώς, το
προηγούμενο θεώρημα δίνει μία εναλλακτική απόδειξη του θεωρήματος του Smale [39] που λέει
ότι κάθε διαφορομορφισμός δύναται να παραμορωθεί με συνεχή τρόπο σε μια ισομετρία.
(EL)
Let f : M ! N be a smooth map between two manifoldsM and N. It is an interesting problem
to find canonical representatives in the homotopy class of f. By a canonical representative is
usually meant a map in the homotopy class of the given map f which is critical point of a suitable
functional. One possible approach is the harmonic map heat flow that was defined by Eells and
Sampson in [19]. IfM andN are compact and carry appropriate Riemannian metrics, they proved
long-time existence and convergence of the heat flow, showing that under these assumptions one
finds harmonic representatives in a given homotopy class. This approach is applicable usually
when the target space is negatively curved. However, in general one can neither expect longtime
existence nor convergence of the flow, in particular for maps between spheres, since the
flow usually develops singularities.
There is another interesting functional that we may consider in the space of smooth maps. Namely,
given a map f : M ! N between Riemannian manifolds M and N, let us denote its graph in
the product spaceM N by
(f) :=
{(
x; f(x)
)
2 M N : x 2 M
}
:
Following the terminology introduced by Schoen [38], a map whose graph is minimal submanifold
is called minimal map. Therefore, minimal maps are critical points of the volume functional.
Another way to deform a smooth map f : M ! N between Riemannian manifoldsM and N is
by deforming its corresponding graph (f) in the product spaceM N via the mean curvature
flow. A graphical solution of the mean curvature flow can be described completely in terms
of a smooth family of maps ft : M ! N, t 2 [0; T), f0 = f, where 0 < T 1 is the
maximal time for which the smooth graphical solution exists. In the case of long-time existence
of a graphical solution and convergence we would thus obtain a smooth homotopy from the initial
map f to a minimal map f1: M ! N as time t tends to infinity.
The first result in this direction is due to K. Ecker and G. Huisken [18]. They proved longtime
existence of entire graphical hypersurfaces in the Euclidean space Rn+1. Moreover, they
proved convergence to a flat subspace, if the growth rate at infinity of the initial graph is linear.
The complexity of the normal bundle in higher codimensions makes the situation much more
complicated. Results analogous to [18] are not available any more without further assumptions.
However, the ideas developed in [18] opened a new era for the study of the mean curvature flow of
submanifolds in Riemannian manifolds of arbitrary dimension and codimension; see for example
the papers [6, 7, 9, 28, 30, 34–37, 41, 43–45, 47–49] and the references therein.
The goal of this thesis is to show that the deformation of area preserving maps between Riemann
surfaces under its mean curvature gives the following result:
Theorem. Suppose M and N are compact Riemann surfaces with the same constant scalar
curvature and f : M ! N be an area preserving diffeomorphism. Then, there exists a
family of smooth area preserving maps ft : M ! N, t 2 [0;1), f0 = f, such that the
graphs (ft) of ft move by mean curvature flow in the Riemannian product space M N.
Moreover, depending on the sign of we have the following behaviour:
(a) If > 0, then the family of the graphs (ft) smoothly converges to the graph of an
isometry.
(b) If = 0, then (ft) smoothly converges to a totally geodesic graph (f1) of the product
M N.
(c) If < 0, then the graphs (ft) smoothly converges to a minimal surface M1 of the
Riemannian product M N.
The above theorem is due to K. Smoczyk [41] and M.-T. Wang [46,49]. The proof that we present
here follows closely also ideas developed in [34].
Since any diffeomorphism is isotopic to an area preserving diffeomorphism, this gives another
proof of Smale’s theorem [39] that the orthogonal group O(3) is the deformation retract of the
diffeomorphism group of the sphere S2.
The organisation of the thesis is as follows: In Chapter 1 we will review the geometric structure
equations for immersions in Riemannian manifolds and we will introduce most of our terminology
and notations that will be used throughout the manuscript. In Chapter 2 we discuss complex and
Lagrangian submanifolds of Kähler manifolds. In Chapter 3 we will outline facts from the theory
of differential operators in vector bundles. Additionally, we present the comparison maximum
principle for parabolic partial differential equations. In Chapter 4 we shall introduce the mean
curvature flow. We will show that the mean curvature flow is a quasilinear (degenerate) parabolic
system and we will treat the existence and uniqueness problem. Moreover, we will derive the
evolution equations of the most important geometric quantities in the general situation, i.e. for
immersions in arbitrary Riemannian manifolds. Finally, in Chapter 5 we introduce the graphical
mean curvature flow and prove the main result of this thesis.
(EN)
