Στην παρούσα διατριβή εκθέτουμε κάποια θεμελιώδη αποτελέσματα της θεωρίας της εξίσωσης Monge-Ampère, δηλαδή μελετάμε την ύπαρξη, μοναδικότητα, κανονικότητα (ή λειότητα) ασθενών και κλασικών λύσεών της, καθώς και κάποιες ιδιότητές αυτών. Κυριότερη πηγή μας όσον αφορά την θεωρία της εξίσωσης αποτελεί το έργο του Alessio Figalli, The Monge-Ampère equation and its applications, EMS, 2017. Πιο συγκεκριμένα, ξεκινάμε το πρώτο, εισαγωγικό κεφάλαιο αναφέροντας κάποια γενικά στοιχεία της εξίσωσης και κάνουμε μία ιστορική αναδρομή της μελέτη της. Στη συνέχεια, υπενθυμίζουμε κάποιες βασικές έννοιες και αποτελέσματα της Κυρτής Ανάλυσης. Τέλος, υπενθυμίζουμε κάποια στοιχεία αναφορικά με την ελλειπτικότητα μίας μερικής διαφορικής εξίσωσης και εξηγούμε πως σχετίζεται η ελλειπτικότητα της εξίσωσης Monge-Ampère με την κυρτότητα των λύσεών της. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις λύσεις Alexandrov, οι οποίες είναι κυρτές συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση Monge-Ampère υπό μία ασθενή έννοια. Σε αυτό αναπτύσσουμε όλα εκείνα τα εργαλεία (όπως το υποδιαφορικό συνάρτησης, το μέτρο Monge-Ampère, την Αρχή Μεγίστου του Alexandrov, την Αρχή Σύγκρισης) με τη βοήθεια των οποίων στη συνέχεια μελετάμε την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων Alexandrov στο πρόβλημα Dirichlet της εξίσωσης πάνω από κάποιο κυρτό, φραγμένο σύνολο. Στο τρίτο κεφάλαιο δείχνουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα κλασικών (λείων) κυρτών λύσεων για το πρόβλημα Dirichlet της εξίσωσης πάνω από ένα ομοιόμορφα κυρτό σύνολο με αρκετά λείο σύνορο, αρκετά λεία δεξιά πλευρά και αρκετά λεία συνοριακή συνθήκη. Πριν από αυτό, όμως, υπενθυμίζουμε κάποιες βοηθητικές έννοιες και συμπεράσματα αναφορικά με χώρους Hölder, τα ομοιόμορφα κυρτά σύνολα, τη διαφορισιμότητα Fréchet και την γενική θεωρία των Ελλειπτικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, που χρειάζονται στην πορεία του κεφαλαίου. Συνεχίζουμε παρουσιάζοντας την απόδειξη του αποτελέσματος χρησιμοποιώντας την μέθοδο της συνέχειας. Τέλος, αποδεικνύουμε κάποια βοηθητικά λήμματα που απαιτούνται στην προαναφερθείσα μέθοδο. Το τέταρτο κεφάλαιο περιέχει αποτελέσματα εσωτερικής κανονικότητας των λύσεων Alexandrov, τα οποία οφείλονται κατά κύριο λόγο στους Pogorelov και Caffarelli. Αρχικά αναφέρουμε τις έννοιες των τμημάτων, κανονικοποιημένων συνόλων και κανονικοποιημένων λύσεων και αποδεικνύουμε κάποιες ιδιότητές τους, κομβικές για τις μετέπειτα αποδείξεις. Συνεχίζουμε με την μελέτη της κανονικότητας στο επίπεδο, αφού αυτή είναι μία ιδιαίτερα καλή περίπτωση όπου οι λύσεις είναι γνήσια κυρτές και διαφορίσιμες. Στην επόμενη ενότητα εξηγούμε την αναγκαιότητα της υπόθεσης της γνήσιας κυρτότητας για την κανονικότητα των λύσεων μέσω ενός αντιπαραδείγματος και αποδεικνύουμε δύο αποτελέσματα αναφορικά με την γνήσια κυρτότητα των λύσεων Alexandrov. Στο υπόλοιπο κομμάτι του κεφαλαίου ασχολούμαστε με την εσωτερική κανονικότητα των γνήσια κυρτών λύσεων υπό διάφορες συνθήκες για τη συνάρτηση της δεξιάς πλευράς, όπως όταν αυτή είναι λεία ή φραγμένη μακριά από το μηδέν και το άπειρο. Στο τελευταίο κεφάλαιο, αφού πρώτα κάνουμε μία σύντομη εισαγωγή στη Θεωρία της Βέλτιστης Μεταφοράς, χρησιμοποιούμε κάποια από τα αποτελέσματα κανονικότητας που έχουμε αναπτύξει προηγουμένως για να εξάγουμε συμπεράσματα αναφορικά με την κανονικότητα της λύση του προβλήματος Βέλτιστης Μεταφοράς με συνάρτηση κόστους το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης, ένα αποτέλεσμα που οφείλεται στον Caffarelli.
(EL)
This thesis aims to present some fundamental results on the subject of the theory of the Monge-Ampère equation, that is to say, we investigate the existence, the uniqueness and the regularity of its solutions, as well as some of their properties. Our main reference concerning the theory of this equation is the work of Alessio Figalli, The Monge-Ampère equation and its applications, EMS, 2017. We commence the first, preparatory chapter by introducing some general features of the equation and by surveying some of the historical development of its investigation. Next, we recall some preliminary facts of Convex Analysis. Concluding, we get to remember when a partial differential equation is elliptic and we explore the connection between the ellipticity of the Monge-Ampère equation and the convexity of its solutions. Our chief concern in the second chapter is Alexandrov solutions, that is, convex functions which satisfy the Monge-Ampère equation in a certain weak sense. At first, we develop all those tools (such as the subdifferential of a function, the Monge-Ampère measure, Alexandrov’s Maximum Principle, the Comparison Principle) required in order to define them and then we study the existence and uniqueness of Alexandrov solutions to the Dirichlet problem of the equation on a convex, bounded set. Subsequently, in the third chapter, we show the existence and uniqueness of classical (smooth) convex solutions to the Dirichlet problem of the equation on a uniformly (strongly) convex domain with a sufficiently smooth boundary, sufficiently smooth boundary data and sufficiently smooth right hand side. Therefore, we remind the reader of some basic facts about Hölder spaces, uniformly convex sets, Fréchet derivatives and some elements of the general theory of Elliptic Partial Differential Equations, before using the continuity method to deduce the aforementioned result. We end the chapter by proving some vital lemmas needed for the foregoing method. The fourth chapter contains interior regularity results regarding Alexandrov solutions; results which are mainly due to Pogorelov and Caffarelli. Firstly, we deal with (cross-)sections, normalised sets and normalised solutions, proving some useful properties of theirs. Afterwards, we are concerned with the two dimensional case, where we prove the strict convexity and differentiability of all Alexandrov solutions that are bounded away from zero and infinity; a feature which is unique to that dimension. Furthermore, we discuss strict convexity of the solutions in a more general setting; we provide a counterexample due to Pogorelov that indicates the need for such a hypothesis if regularity is to follow and we present some cases due to Caffarelli where Alexandrov solutions are strictly convex. Ending the chapter, we examine the interior regularity of strictly convex solutions, initially when the right hand side of the equation is sufficiently smooth and afterwards when this function is bounded away from zero and infinity. We begin the final chapter stating the problem of Optimal Transport. The Optimal Transport problem with quadratic cost admits an optimal transportation map which is profoundly associated with an Alexandrov solution of a Monge-Ampère equation. We hint at that relation and we use it to reason about the regularity of the preceding optimal transportation map in accordance with the regularity results discussed in the fourth chapter; a result which is due to Caffarelli.
(EN)
