δείτε την πρωτότυπη σελίδα τεκμηρίου στον ιστότοπο του αποθετηρίου του φορέα για περισσότερες πληροφορίες και για να δείτε όλα τα ψηφιακά αρχεία του τεκμηρίου*
Περίληψη
Η παρούσα διπλωματική εργασία αναφέρεται κυρίως σε δυο θέματα τα οποία
σχετίζονται με την αλγεβρική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.
Στο πρώτο, που σχετίζεται με την αλγοριθμική απόδειξη θεωρημάτων της
ευκλείδειας γεωμετρίας, παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία της
υπολογιστικής αλγεβρικής γεωμετρίας, τον αλγόριθμο Buchberger. Στον αλγόριθμο
αυτό η είσοδος είναι ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων πολλών μεταβλητών και
η έξοδος ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων το οποίο ονομάζεται βάση Groebner. Ο
αλγόριθμος Buchberger είναι μια ωραία γενίκευση των αλγορίθμων εύρεσης του
μέγιστου κοινού διαιρέτη στην περίπτωση των πολυωνύμων μιας μεταβλητής και της
απαλοιφής Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών πολυωνυμικών εξισώσεων με
πολλούς αγνώστους.
Στο δεύτερο εκθέτουμε μια απλή εκδοχή του τρίτου προβλήματος Hilbert και
συγκεκριμένα εξετάζουμε κατά πόσο είναι δυνατό, εφαρμόζοντας στοιχειώδεις
μεθόδους, να βρούμε τύπο που να υπολογίζει τον όγκο οποιουδήποτε πολυέδρου
χωρίς να καταφύγουμε σε άπειρες διαδικασίες. Παραθέτοντας μια απόδειξη που
οφείλεται στον Dehn Max, αποδεικνύουμε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο αφού, με
αυτές τις μεθόδους, δεν μπορούμε να «μετασχηματίσουμε» ένα κανονικό τετράεδρο
σε κύβο που να έχει τον ίδιο όγκο.
(EL)
Abstract
This thesis mainly refers to two issues related to solving algebraic geometric
problems.
In the first, which is related to the algorithmic proof of theorems of the
Euclidean geometry, we present one of the most important tools of computational
algebraic geometry, the algorithm Buchberger. In this algorithm the input is a
system of multivariate polynomial equations and the output an equivalent system
of equations called Groebner basis. The Buchberger algorithm is a nice
generalization of the algorithms of finding the greatest common divisor in the
case of polynomials of a variable and the Gauss elimination for solving systems
of linear polynomial equations with many unknowns.
With regards to the second issue, we exhibit a simple version of Hilbert's
third problem. Actually, we consider whether it is possible to find a formula
to calculate the volume of any polyhedron, by applying elementary methods,
without resorting to infinite processes. By citing a proof registered to Dehn
Max, we eventually prove that this is impossible since, with these methods, we
can not "transform" a regular tetrahedron into a cube with the same volume.
(EN)
*Η εύρυθμη και αδιάλειπτη λειτουργία των διαδικτυακών διευθύνσεων των συλλογών (ψηφιακό αρχείο, καρτέλα τεκμηρίου στο αποθετήριο) είναι αποκλειστική ευθύνη των αντίστοιχων Φορέων περιεχομένου.
Βοηθείστε μας να κάνουμε καλύτερο το OpenArchives.gr.
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
