Αντικείμενο μελέτης της εργασίας αυτής είναι η αλληλεπίδραση της διάταξης που ορίζεται μεταξύ (αυτοσυζυγών) τελεστών σε χώρους Hilbert και της θεωρίας των Χώρων Τελεστών ( Operator Space Theory).
Ειδικότερα η εργασία πραγματεύεται τις διάφορες δομές διάταξης πινάκων ( Matrix orderings}) που ορίζονται σε Συστήματα Τελεστών καθώς και την έννοια της εμφυτευτικότητας ( injectivity) και του εμφυτευτικού περιβλήματος ( injective envelope) στις κατηγορίες των χώρων τελεστών και των συστημάτων τελεστών.
Στο κεφάλαιο 1, αναπτύσσουμε τη βασική θεωρία των θετικών και πλήρως θετικών απεικονίσεων. Διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε μεταξύ άλλων, την ανισότητα του Schwarz για 2 - θετικές απεικονίσεις και το διαχωριστικό θεώρημα του Krein για κώνους.
Στο κεφάλαιο 2, μελετάμε *- γραμμικούς χώρους με διάταξη, εισάγοντας την έννοια των Αρχιμήδειων διατεταγμένων χώρων. Επιπλέον, ορίζουμε τις νόρμες διάταξης ενός διατεταγμένου χώρου και παρουσιάζουμε τη σύνδεσή τους με τις καταστάσεις του χώρου. Έπειτα, χρησιμοποιώντας αυτά τα εργαλεία, αποδεικνύουμε τον χαρακτηρισμό του Kadison για συστήματα συναρτήσεων.
Στο κεφάλαιο 3, ορίζουμε τις δομές συστημάτων τελεστών, αποδεικνύοντας αρχικά το θεώρημα Choi- Effros. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε την ελαχιστική και μεγιστική τέτοια δομή και εφαρμόζουμε τη θεωρία αυτή στη μελέτη των entanglement breaking απεικονίσεων.
Στο κεφάλαιο 4, αναπτύσσουμε τη θεωρία των εμφυτευτικών συστημάτων τελεστών, αποδεικνύουμε την ύπαρξη εμφυτευτικών περιβλημάτων χώρων τελεστών. Τέλος, ορίζουμε το C*-περίβλημα μιάς άλγεβρας τελεστών και αποδεικνύουμε τον χαρακτηρισμό του Hamana για τέτοιες άλγεβρες.
(EL)
The object of study of this thesis is the interaction between the ordering defined on (self-adjoint) operators on Hilbert spaces and operator space theory. In particular, we study several matrix orderings defined on operator systems as well as the concepts of injectivity and injective envelope in the categories of operator spaces and operator systems.
In Chapter 1, we present the basic theory of positive and completely positive maps. Among others, we state and prove Schwarz inequality for 2-positive maps and Krein separation theorem for cones.
In Chapter 2, we study * ordered linear spaces and introduce the concept of an Archimedean space. In addition, we define the order norms in such spaces and connect them with the states of the space. Then, using these tools, we state and prove Kadison's characterisation of function systems.
In Chapter 3, we define the operator system structures. We state and prove the theorem of Choi-Effros and study the minimal and the maximal such structure. Then, we present the application of these concepts to the study of entanglement breaking maps.
Finally, in Chapter 4 is given an introduction in the theory of injective operator systems. We also prove the existence of injective envelopes of operator spaces. Finally, we define the C* envelope of an operator algebra and prove Hamana's characterisation for such algebras.
(EN)
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa
