Η βασική ιδέα της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να μελετήσουμε μια κλάση τριγωνισμένων κατηγοριών, η οποία γενικεύει για όλους τους μεγάλους κανονικούς πληθάριθμους, την κλάση των aleph_{0}-συμπαγώς παραγόμενων τριγωνισμένων κατηγοριών, προκειμένου να διατηρούνται οι πιο ενδιαφέρουσες ιδιότητες τους, π.χ. η κλειστότητα της κλάσεως ως προς τις τοπικοποιήσιμες υποκατηγορίες οι οποίες παράγονται από aleph_{0}-συμπαγή σύνολα αντικειμένων, και ως προς την τοπικοποίηση Verdier με τοπικοποιήσιμες υποκατηγορίες οι οποίες παράγονται από aleph_{0}-συμπαγή σύνολα αντικειμένων, η ισχύς του Θεωρήματος Αναπαραστασιμότητας του Brown ( "για την συνομολογία" ), και του δυϊκού του ( "για την ομολογία" ). Αυτή η νέα κλάση, είναι η κλάση των καλώς παραγόμενων τριγωνισμένων κατηγοριών η οποία θεμελιώθηκε από τον Neeman. Συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε ότι οι καλώς παραγόμενες τριγωνισμένες κατηγορίες ικανοποιούν το Θεώρημα Αναπαραστασιμότητας του Brown. Θα γενικεύσουμε το Θεώρημα Τοπικοποίησης του Thomason, το οποίο θα μας επιτρέψει να συμπεράνουμε μεταξύ άλλων ότι οι τοπικοποιήσιμες υποκατηγορίες οι οποίες παράγονται από σύνολα αντικειμένων, και τα πηλίκα Verdier των καλώς παραγόμενων τριγωνισμένων κατηγοριών με τοπικοποιήσιμες υποκατηγορίες οι οποίες παράγονται από σύνολα αντικειμένων είναι ωσαύτως καλώς παραγόμενες τριγωνισμένες κατηγορίες, και συνεπώς ικανοποιούν το Θεώρημα Αναπαραστασιμότητας του Brown. Τέλος, παρόλο που ο ορισμός των καλώς παραγόμενων τριγωνισμένων κατηγοριών δεν είναι αυτο-δυϊκός, η μέθοδος της απόδειξης του Θεωρήματος Αναπαραστασιμότητας του Brown γενικεύεται στις δυϊκές των καλώς παραγόμενων τριγωνισμένων κατηγοριών, αλλά δυστυχώς υπό μια ισχυρή υπόθεση, της παρουσίας αρκετών ενέσιμων αντικειμένων σε κάποιες πολύ συγκεκριμένες κατηγορίες συναρτητών τις οποίες θα μελετήσουμε διεξοδικά.
(EL)
The basic idea of this dissertation is to study a class of triangulated categories, which generalizes for all large regular cardinals, the class of aleph_{0}-compactly generated triangulated categories, in order to preserve their most interesting properties, e.g. the closure of the class under localizing subcategories generated by aleph_{0}-compact sets of objects, and under Verdier localization with localizing subcategories generated by aleph_{0}-compact sets of objects, the validity of Brown's Representability Theorem ( "for the cohomology" ), and its dual ( "for the homology" ). This new class, is the class of well generated triangulated categories founded by Neeman. In particular, we will prove that well generated triangulated categories satisfy Brown's Representability Theorem. We will generalize Thomason's Localization Theorem, which will allow us to conclude, inter alia, that the localizing subcategories generated by sets of objects, and the Verdier quotients of well generated triangulated categories with localizing subcategories generated by sets of objects are also well generated triangulated categories, and therefore satisfy Brown's Representability Theorem. Finally, although the definition of well generated triangulated categories is not self-dual, the method of proving Brown's Representability Theorem is generalized to the duals of well generated triangulated categories, but unfortunately under a strong hypothesis, the presence of enough injectives objects in some very specific categories of functors which we will study in detail.
(EN)
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa
