Διάφορες προσεγγίσεις στην εικασία του υπερεπιπέδου για τον όγκο των τομών κυρτών σωμάτων

Το τεκμήριο παρέχεται από τον φορέα :
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών   

Αποθετήριο :
Πέργαμος   

δείτε την πρωτότυπη σελίδα τεκμηρίου
στον ιστότοπο του αποθετηρίου του φορέα για περισσότερες πληροφορίες και για να δείτε όλα τα ψηφιακά αρχεία του τεκμηρίου*



Διάφορες προσεγγίσεις στην εικασία του υπερεπιπέδου για τον όγκο των τομών κυρτών σωμάτων

Πάτσαλος Κωνσταντίνος (EL)
Patsalos Konstantinos (EN)

born_digital_postgraduate_thesis
Διπλωματική Εργασία (EL)
Postgraduate Thesis (EN)

2021


Η εικασία του υπερεπιπέδου αποτελεί ένα ανοικτό πρόβλημα στην ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία. Ρωτάει αν υπάρχει ένα ομοιόμορφο κάτω φράγμα (ανεξάρτητο της διάστασης του χώρου) για τον όγκο που μπορεί να έχει η τομή ενός κυρτού σώματος Κ όγκου 1 με ένα υπερεπίπεδο που να διέρχεται από το κέντρο βάρους του Κ αν το υπερεπίπεδο ληφθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τον όγκο αυτό. Στην παρούσα εργασία, αφού παρουσιάσουμε το απαιτούμενο υπόβαθρο από την ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία, αποδεικνύουμε την ισοδυναμία της εικασίας του υπερεπιπέδου με την εικασία της ισοτροπικής σταθεράς, σύμφωνα με την οποία υπάρχει ένα ομοιόμορφο άνω φράγμα για τις ισοτροπικές σταθερές όλων των κυρτών σωμάτων. Από τις μέχρι τώρα προσεγγίσεις αναφερόμαστε αρχικά στο άνω φράγμα του Bourgain για τις ισοτροπικές σταθερές. Παρουσιάζουμε, συγκεκριμένα, τη μεταγενέστερη απόδειξη του Dar. Εν συνεχεία, γενικεύουμε την εικασία σε λογαριθμικά κοίλα μέτρα και αποδεικνύουμε την αναγωγή της γενίκευσης αυτής στην αρχική εικασία. Με τη βοήθεια της ανισότητας απόκλισης του Παούρη, λύνουμε την “ισομορφική εικασία του υπερεπιπέδου” και αποδεικνύουμε το άνω φράγμα του Klartag για τις ισοτροπικές σταθερές. Η εικασία ανάγεται επίσης στη μελέτη της ακτίνας όγκου των κεντροειδών σωμάτων. Εστιάζουμε κατόπιν σε μία εναλλακτική απόδειξη του άνω φράγματος του Klartag μέσω μίας παραλλαγής της ισομορφικής εικασίας της οποίας η απόδειξη βασίζεται σε κυρτούς κώνους n+1 διαστάσεων. Τέλος, παρουσιάζουμε το καλύτερο μέχρι στιγμής άνω φράγμα, το οποίο οφείλεται στον Y.Chen και επιτυγχάνεται με στοχαστικές μεθόδους. (EL)
The hyperplane conjecture (or slicing conjecture) is an open problem in asymptotic convex geometry. It states that there is a uniform lower bound (not depending on the dimension) for the volume of the intersection of a convex body K of volume 1 with a hyperplane that contains the barycentre of K if the hyperplane is chosen so that this volume is maximized. In this thesis, we first present the necessary background from asymptotic convex geometry and then prove the equivalence between the hyperplane conjecture and the isotropic constant conjecture which states that there is a uniform upper bound for the isotropic constants of all convex bodies. Passing to the existing results, first we show the upper bound of Bourgain for the isotropic constants. In particular, we explain Dar’s argument. We then show that the more general “hyperplane conjecture for log-concave measures” can be reduced to the hyperplane conjecture for convex bodies. Using Paouris’ deviation inequality, we solve the “isomorphic hyperplane conjecture” and prove Klartag’s upper bound for the isotropic constants. The hyperplane conjecture is also reduced to finding bounds for the volume radius of centroid bodies. We then focus on an alternative proof of Klartag’s upper bound through a variant of the isotropic conjecture. The proof is based on convex cones of n+1 dimensions. Finally, we discuss the best known (till now) upper bound, which is due to Y.Chen and is achieved by stochastic methods. (EN)

Θετικές Επιστήμες

Θετικές Επιστήμες (EL)
Science (EN)

Ελληνική γλώσσα

Σχολή Θετικών Επιστημών » Τμήμα Μαθηματικών » ΠΜΣ Μαθηματικά » Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη και Κέντρο Πληροφόρησης » Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/




*Η εύρυθμη και αδιάλειπτη λειτουργία των διαδικτυακών διευθύνσεων των συλλογών (ψηφιακό αρχείο, καρτέλα τεκμηρίου στο αποθετήριο) είναι αποκλειστική ευθύνη των αντίστοιχων Φορέων περιεχομένου.