Σε συγκεκριμένους χώρους αναλυτικών συναρτήσεων, ο όρος σφάλματος ενός τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησιακό. Σκοπός της εργασίας είναι να προσφέρει τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται ώστε να υπολογιστεί ακριβώς η νόρμα αυτού του συναρτησιακού, η οποία, τελικά, θα χρησιμοποιηθεί με κύριο στόχο την επίτευξη εκτιμήσεων για τον όρο σφάλματος. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μια εισαγωγή στα ορθογώνια πολυώνυμα, παρουσιάζοντας μερικές από τις πιο σημαντικές τους ιδιότητες και κάνοντας μια ειδική αναφορά στα πολυώνυμα του Chebyshev. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης, επικεντρώνοντας, κυρίως, στους τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης τους Gauss, μαζί με κάποιες αξιοσημείωτες ιδιότητες, οι οποίες επιδεικνύουν την ανωτερότητα τους σε σύγκριση με άλλους τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης. Αυτό το κεφάλαιο κλείνει με την κατασκευή του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Chebyshev του πρώτου, δεύτερου, τρίτου και τέταρτου είδους. Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην εκτίμηση του σφάλματος σε τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss για αναλυτικές συναρτήσεις, το οποίο επιτυγχάνεται με μέθοδούς σε χώρους Hilbert ή με τεχνικές επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, πραγματοποιήθηκαν κάποια αριθμητικά παραδείγματα, τα οποία υποδεικνύουν την αποτελεσματικότητα των φραγμάτων του προηγούμενου κεφαλαίου.
(EL)
In certain spaces of analytic functions, the error term of a quadrature formula is a bounded linear functional. The purpose of this thesis is to provide the methods used in order to compute explicitly the norm of the error functional, which subsequently can be used in order to derive estimates for the error term. In the first chapter, an introduction is made to orthogonal polynomials, presenting some of their most important properties and making a special reference to Chebyshev polynomials. The second chapter deals with quadrature formulae, focusing, mainly, on Gauss quadrature formulae, along with some crucial properties, which indicate their superiority compared to other quadrature formulae. This chapter concludes with the computation of the nodes and weights of the Gauss-Chebyshev quadrature formula of any of the four kinds. The third chapter is dedicated to estimating the error in Gauss quadrature formulae for analytic functions, which is done by Hilbert space methods or contour integration techniques. Finally, in the fourth chapter, some numerical experiments are carried out, which demonstrate the effectiveness of the bounds obtained in the previous chapter.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
