Η παρούσα εργασία μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος ξεκινάμε με μία σύντομη παρουσίαση της Αρχή της Ισοδυναμίας, μέσω της οποίας εξάγουμε την εξίσωση των Γεωδαισιακών, και στη συνέχεια παίρνουμε το νευτώνειο όριο. Και χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Poisson την γενικεύουμε μέσω απλών επιχειρημάτων ώστε να δημιουργήσουμε τις Εξισώσεις Πεδίου του Einstein. Προχωρώντας συστηματοποιούμε την προσέγγισή μας, ώστε να μπορούμενα υπολογίζουμε τις διορθώσεις στην απαιτούμενη ακρίβεια. Έπειτα και με βάση τα προηγούμενα αναλύουμε τις εξισώσεις μας πρώτα σε νευτώνειο επίπεδο ή αλλιώς προσέγγιση 0PN, και στη συνέχεια σε Post Newtonian επίπεδο δηλαδή σε προσέγγιση 1PN. Το δεύτερο μέρος, αποτελεί εφαρμογή του πρώτου μέρους. Μελετάμε νευτώνεια άστρα, μέσω της εξίσωσης Euler, και καταλήγουμε στις εξισώσεις δομής που τα χαρακτηρίζουν. Έπειτα κατασκευάζουμε την εξίσωση Lane Emden, την οποία την λύνουμε αναλυτικά για ορισμένες περιπτώσεις και χρησιμοποιώντας διαταρακτικές μεθόδους βρίσκουμε ημιαναλυτικές λύσεις. Στο επόμενο κεφάλαιο κάνουμε την ίδια μελέτη αλλά για σχετικιστικά σώματα, όπου εξάγουμε την εξίσωση TOV, από τις εξισώσεις Einstein, και μέσω αυτής κατασκευάζουμε το σχετικιστικόανάλογο της εξίσωσης Lane Emden. Το τελευταίο κεφάλαιο είναι ένα κράμα των δύο τελευταίων όπου μελετάμε Post Newtonian άστρα, επεκτείνοντας την προσέγγιση κατά μία τάξη απόαυτή των νευτώνειων άστρων, και ”κατεβάζοντας” την τάξη των σχετικιστικών εξισώσεων στοαπαιτούμενο επίπεδο.
(EL)
This thesis is comprised of two parts. In the first part, we begin with a brief introduction to the Principle of Equivalence through which we derive the equation of Geodesics, and then we examine the Newtonian limit of it. Subsequently, using Poisson's equations we are able to generalise it through simple arguments and derive Einstein's Field Equations. Afterwards we attempt to lay out the ground rules for attempting any order of approximation. And using those we compute our equations first to the Newtonian order, or 0PN approximation, and then to the Post-Newtonian order, or 1PN approximation. The second part is an application of the first one. It's a case study on spherical stars, using the equations we derived in the first part. First, we focus on newtonian stars and form the differential equations that describe their structure. Then we construct the Lane-Emden equation which we proceed to solve both analytically for a few selected cases, and semi-analytically using perturbation methods. Moving on we direct our attention to relativistic stars where we solve the Einstein field equations to derive the TOV equation, through which we construct the relativistic counterpart of the Lane-Emden equation. And finally the last chapter is a fusion of the previous two where we examine the so-called Post-Newtonian stars, which can be viewed as an expansion of the newtonian stars and a "downgrade" to the required order of the relativistic ones.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
