Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή μελετάμε μια κλάση απεικονίσεων ανάμεσα σε CW
συμπλέγματα οι οποίες ονομάζονται phantom maps. Συγκεκριμένα, εξετάζουμε μια
αριθμητική αναλλοίωτη των phantom maps, η οποία ονομάζεται δείκτης Gray. Ένα
κεντρικό αποτέλεσμα της εργασίας περιγράφει ένα νέο χαρακτηρισμό του δείκτη
Gray μέσω της ρητοποιήσεως ενός χώρου. Χρησιμοποιώντας αυτόν το χαρακτηρισμό,
αναπτύσσουμε μία μέθοδο εντοπισμού phantom maps με ένα συγκεκριμένο δείκτη
Gray, ελέγχοντας αλγεβρικές αναλλοίωτες των χώρων. Χρησιμοποιούμε αυτή τη
μέθοδο για να παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα δύο χώρων ανάμεσα στους οποίους
υπάρχουν phantom maps με οποιοδήποτε δείκτη Gray. Επίσης, εξετάζουμε το σύνολο
των phantom maps με άπειρο δείκτη Gray, χρησιμοποιώντας πύργους αβελιανών
ομάδων. Οι μέθοδοι απόδειξης των αποτελεσμάτων χρησιμοποιούν στοιχεία της
θεωρίας ομολογίας, συνομολογίας και ομοτοπίας CW συμπλεγμάτων (όπως οι
ανώτερες ομάδες ομοτοπίας, νηματικές και συννηματικές ακολουθίες, τοπικοποίηση
και πλήρωση). Επίσης, γίνεται εκτενής χρήση μεθόδων και εργαλείων της
ομολογικής άλγεβρας, όπως ο παραγόμενος συναρτητής του αντιστρόφου ορίου.
(EL)
In this thesis we study a class of maps between CW complexes called phantom
maps. We examine, in particular, a numerical invariant of phantom maps called
the Gray index. A central result describes a new characterization of the Gray
index in terms of the rationalization of a space. Using this characterization,
we develop a method of locating phantom maps of a specific Gray index, by
checking algebraic invariants of the spaces. We use this method in order to
present an example of two spaces, such that there are phantom maps of any Gray
index between them. We also examine the set of phantom maps having infinite
Gray index, using towers of abelian groups. Our proofs use elements of
homology, cohomology and homotopy theory of CW complexes (such as higher
homotopy groups, fibration and cofibration sequences, localization and
completion). We also use extensively methods and tools of homological algebra,
such as the derived functor of the inverse limit.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
