δείτε την πρωτότυπη σελίδα τεκμηρίου στον ιστότοπο του αποθετηρίου του φορέα για περισσότερες πληροφορίες και για να δείτε όλα τα ψηφιακά αρχεία του τεκμηρίου*
Η κίνηση Brown είναι μια από τις πλέον διάσημες και θεμελιώδεις στοχαστικές
διαδικασίες. Η διατύπωση της οφείλεται στο φυσικό φαινόμενο της κίνησης Brown,
δηλαδή στην ακανόνιστη κίνηση που επιδεικνύει ένα σωματίδιο εκτεθειμένο σε υγρό
και πήρε το όνομά της από το Σκοτσέζο βοτανολόγο Robert Brown που την
παρατήρησε και τη μελέτησε το 1827. Η φυσική εξήγηση που δόθηκε από τον
Einstein, απέδιδε τις τροχιές (μονοπάτια) του σωματιδίου στις αναρίθμητες
συγκρούσεις του με τα μόρια του υγρού στο οποίο είναι εκτεθειμένο. Η
μαθηματική διατύπωση της κίνησης Brown δόθηκε από το Norbert Wiener. Ο στόχος
μας είναι να συζητήσουμε τις ιδιότητές της δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στα
μονοπάτια.
Στο Κεφάλαιο 1 εξετάζουμε τη μονοδιάστατη και τη διδιάστατη κίνηση Brown ως
προς τη συνέχεια και τη διαφορισιμότητα. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα είναι
εντυπωσιακή και δόθηκε από τους Paley, Zygmund και Wiener το 1933.
Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία για τη μελέτη της
κίνησης Brown, την ιδέα της διάστασης Hausdorff. Μέσω αυτής της ιδέας είμαστε
σε θέση να απαντήσουμε σε ερωτήματα σχετικά με το μέγεθος των συνόλων που
παράγονται από την κίνηση Brown όπως για παράδειγμα το Zeros = {t 0 : B(t) =
0}, το σύνολο των μηδενικών της. Το σύνολο αυτό είναι μεγάλο υπό την έννοια ότι
είναι υπεραριθμήσιμο χωρίς μεμονωμένα σημεία. Το Lebesgue μέτρο αυτού του
συνόλου όμως είναι μηδέν και υπό αυτή την έννοια θεωρείται μικρό. Το σύνολο των
μηδενικών είναι ένα τυχαίο fractal του οποίου η διάσταση Hausdorff είναι 1/2.
(EL)
Brownian motion is one of the most famous and fundamental of stochastic
processes. The formulation of this process was inspired by the physical
phenomenon of Brownian motion, which is the irregular movement exhibited by a
small particle suspended in a fluid, named after the Scottish botanist Robert
Brown who observed and studied it in 1827. A physical explanation of Brownian
motion was given by Einstein, who analyzed it as the effect of innumerable
collisions of the suspended particle with the molecules of the fluid. The
mathematical theory of Brownian motion was given by Norbert Wiener in 1923. Our
aim is to discuss its properties putting particular emphasis on sample path
properties.
In Chapter 1 we start exploring Brownian Motion at dimension d =1 and d =2 and
discuss the sample path properties of continuity and differentiability. The
surprising answer to the second question was given by Paley, Wiener and Zygmund
in 1933.
In Chapter 2 we provide one of the most significant tools in our study of
Brownian motion, the idea of the Hausdorff dimension. Via this idea we are in a
position to answer questions arise concerning the size of sets generated by
Brownian motion, as for example Zeros = {t 0 : B(t) = 0}, the set of its
zeros, if looking at dimension d =1. This set is big, as it is an uncountable
set with no isolated points. The Lebesgue measure of this set is zero and in
this sense is small. Zeros is a random fractal and we show that its Hausdorff
dimension is 1/2.
(EN)
*Η εύρυθμη και αδιάλειπτη λειτουργία των διαδικτυακών διευθύνσεων των συλλογών (ψηφιακό αρχείο, καρτέλα τεκμηρίου στο αποθετήριο) είναι αποκλειστική ευθύνη των αντίστοιχων Φορέων περιεχομένου.
Βοηθείστε μας να κάνουμε καλύτερο το OpenArchives.gr.
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
