1. Home page
  2. Search

Γεωμετρικές ιδιότητες της κίνησης brown

This item is provided by the institution :
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa   

Repository :
Pergamos Digital Library   

see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*



Γεωμετρικές ιδιότητες της κίνησης brown
Δικαιοσυνόπουλος Νικόλαος (EL)
born_digital_postgraduate_thesis
Διπλωματική Εργασία (EL)
Postgraduate Thesis (EN)
2012
Η κίνηση Brown είναι μια από τις πλέον διάσημες και θεμελιώδεις στοχαστικές διαδικα­σίες. Η διατύπωση της οφείλεται στο φυσικό φαινόμενο της κίνησης Brown, δηλαδή στην ακανόνιστη κίνηση που επιδεικνύει ένα σωματίδιο εκτεθειμένο σε υγρό και πήρε το όνομά της από το Σκοτσέζο βοτανολόγο Robert Brown που την παρατήρησε και τη μελέτησε το 1827. Η φυσική εξήγηση που δόθηκε από τον Einstein, απέδιδε τις τροχιές (μονοπάτια) του σωματιδίου στις αναρίθμητες συγκρούσεις του με τα μόρια του υγρού στο οποίο είναι εκτε­θειμένο. Η μαθηματική διατύπωση της κίνησης Brown δόθηκε από το Norbert Wiener. Ο στόχος μας είναι να συζητήσουμε τις ιδιότητές της δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στα μονοπάτια. Στο Κεφάλαιο 1 εξετάζουμε τη μονοδιάστατη και τη διδιάστατη κίνηση Brown ως προς τη συνέχεια και τη διαφορισιμότητα. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα είναι εντυπωσιακή και δόθηκε από τους Paley, Zygmund και Wiener το 1933. Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία για τη μελέτη της κίνησης Brown, την ιδέα της διάστασης Hausdorff. Μέσω αυτής της ιδέας είμαστε σε θέση να απαντήσουμε σε ερωτήματα σχετικά με το μέγεθος των συνόλων που παράγονται από την κίνηση Brown όπως για παράδειγμα το Zeros = {t  0 : B(t) = 0}, το σύνολο των μηδενικών της. Το σύνολο αυτό είναι μεγάλο υπό την έννοια ότι είναι υπεραριθμήσιμο χωρίς μεμονωμένα σημεία. Το Lebesgue μέτρο αυτού του συνόλου όμως είναι μηδέν και υπό αυτή την έννοια θεωρείται μικρό. Το σύνολο των μηδενικών είναι ένα τυχαίο fractal του οποίου η διάσταση Hausdorff είναι 1/2. (EL)
Brownian motion is one of the most famous and fundamental of stochastic processes. The formulation of this process was inspired by the physical phenomenon of Brownian mo­tion, which is the irregular movement exhibited by a small particle suspended in a fluid, named after the Scottish botanist Robert Brown who observed and studied it in 1827. A physical explanation of Brownian motion was given by Einstein, who analyzed it as the effect of innumerable collisions of the suspended particle with the molecules of the fluid. The mathematical theory of Brownian motion was given by Norbert Wiener in 1923. Our aim is to discuss its properties putting particular emphasis on sample path properties. In Chapter 1 we start exploring Brownian Motion at dimension d =1 and d =2 and discuss the sample path properties of continuity and differentiability. The surprising answer to the second question was given by Paley, Wiener and Zygmund in 1933. In Chapter 2 we provide one of the most significant tools in our study of Brownian motion, the idea of the Hausdorff dimension. Via this idea we are in a position to answer questions arise concerning the size of sets generated by Brownian motion, as for example Zeros = {t  0 : B(t) = 0}, the set of its zeros, if looking at dimension d =1. This set is big, as it is an uncountable set with no isolated points. The Lebesgue measure of this set is zero and in this sense is small. Zeros is a random fractal and we show that its Hausdorff dimension is 1/2. (EN)
Greek
Σχολή Θετικών Επιστημών » Τμήμα Μαθηματικών » Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας
Βιβλιοθήκη και Κέντρο Πληροφόρησης » Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
University of Athens
Pergamos Digital Library
Postgraduate Thesis



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)