Στην παρούσα διπλωματική θα ασχοληθούμε με μία πρόσφατη δημοσίευση του Daniel
Larsen, ο οποίος, ως μαθητής, κατάφερε να αποδείξει μία εικασία των Alford, Granville
και Pomerance από το μακρινό 1994, περί της ύπαρξης αριθμού Carmichael μεταξύ κα-
θενός επαρκώς μεγάλου φυσικού αριθμού και του διπλασίου του, κατ’αντιστοιχία με το
κλασσικό θεώρημα που αφορά τους πρώτους αριθμούς.
Στο 1ο Κεφάλαιο θα παρουσιαστούν κάποια βασικά θεωρήματα της Στοιχειώδους Θε-
ωρίας Αριθμών που αφορούν τους αριθμούς Carmichael και θα διατυπωθούν (ανευ απο-
δείξεως) κάποιες βασικές προτάσεις που θα μας χρειαστούν παρακάτω.
Στο 2ο Κεφάλαιο, ορίζοντας τις κατάλληλες ποσοτητες, ίσως κάπως αυθαίρετα με μια
πρόχειρη ματιά, χρησιμοποιούμε μία ευρεία γκάμα τόσο αριθμοθεωρητικών όσο και συν-
δυαστικών λημμάτων ώστε να κατασκευάσουμε σύνολα ζευγών μη-συσταδοποιημένων
πρώτων που θα παίξουν καταλυτικό ρόλο στην εύρεση των ζητούμενων αριθμών Carmichael.
Τέλος, στο 3ο Kεφάλαιο με την χρήση «ταπεινών εργαλείων» (ας μου επιτραπεί η έκ-
φραση) από μαθήματα προπτυχιακού επιπέδου όπως ο Απειροστικός Λογισμός και η Θε-
ωρία Πιθανοτήτων αποδεικνύεται ένα αρκετά τεχνικό αποτέλεσμα (Θεώρημα 6), το οποίο
σε συνδυασμό με τη δουλειά του Κεφαλαίου 2 και με ένα ομολογουμένως περίτεχνο επι-
χείρημα, ολοκληρώνει την απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος.
(EL)
The present thesis deals with a recent paper of Daniel Larsen (at the time of writing his
paper a high school senior!) who managed to prove that between every sufficiently large
natural number and its double there exists (at least) a Carmichael number, a conjecture
prevalent in the Analytic Number Theory community since the early 90’s due to a paper
of Alford, Granville and Pomerance.
In Chapter 1, we present some basic theorems of Elementary Number Theory regarding
Carmichael numbers and state (without proof) some propositions that are going to be
useful in the rest of the chapters.
In Chapter 2, with seemingly little motivation, we define many notions that, with the help
of combinatorial and number theoretic lemmas, become vital in constructing sets of pairs
of ”non-clustered” primes, the key-sets for finding the Carmichael numbers we look out
for.
Finally, in Chapter 3, the ingenious use of elementary tools from Calculus and Probability
Theory to prove a difficult technical theorem and some further neat observations and
connections with the work done at Chapter 2, shall allow us to yield the desired result.
(EN)
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
