Σκοπός της εργασίας αυτής, είναι η μελέτη της εξίσωσης της θερμότητας στον
υπερβολικό χώρο και ιδιαιτέρως του πυρήνα θερμότητας.
Στο πρώτο, εισαγωγικό, κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές έννοιες και αποτελέ-
σματα, τα οποία θα χρησιμοποιηθούν στα επόμενα κεφάλαια.
Οι έννοιες που παρουσιάζονται είναι:
• Ο τελεστής Laplace - Beltrami
• Το θεώρημα του συναρτησιακού λογισμού
• Ο μετασχηματισμός Fourier
• Ο ορισμός του πυρήνα θερμότητας σε μια πολλαπλότητα M
• Ο υπερβολικός χώρος Hn
• Χώροι συναρτήσεων στον Hn
Οι έννοιες αυτές, δεν παρουσιάζονται αναλυτικά, καθώς δεν είναι αντικείμενο της
παρούσης εργασίας.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζονται λεπτομερώς οι αποδείξεις των ανισοτή-
των Hardy και Poincaré στον Hn. Τέλος, κάνοντας χρήση της δεύτερης ανισότητας
παίρνουμε μια εκτίμηση για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της λύσης, για την
εξίσωση της θερμότητας στον Hn.
Στο τρίτο κεφάλαιο, δίνεται η απόδειξη για τον τύπο του πυρήνα θερμότητας
στην περίπτωση n = 3. Η απόδειξη αυτή είναι στοιχειώδης απο θεωρητική άποψη,
αλλά περιέχει πολύπλοκους και μεγάλους σε έκταση υπολογισμούς.
Το τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο, είναι αφιερωμένο στο κύριο αποτέλεσμα της
εργασίας αυτής, που είναι απόδειξη ενός τύπου για τον πυρήνα θερμότητας στον
Hn. Τέτοιου είδους αποτελέσματα, για τον πυρήνα θερμότητας υπάρχουν ήδη, όπως
αυτό που παρουσιάζεται στο άρθρο [2] των E. B. Davies και N. Mandouvalos. Στην
εργασία αυτή όμως, οι τύποι προκύπτουν με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο,
αξιοποιώντας:
1 την σχέση που υπάρχει ανάμεσα στον πυρήνα θερμότητας και τον πυρήνα
της κυματικής εξίσωσης και
2 τον τύπο για τον πυρήνα της κυματικής εξίσωσης σε συμμετρικούς χώρους.
(EL)
The main objective of this thesis is the study of the heat equation in the hyperbolic
space and the heat kernel in particular.
The first chapter is an introduction to basic concepts, which are necessary for the
chapters to follow. These are the following:
• The Laplace – Beltrami operator
• The functional calculus theorem
• Fourier transfom
• The definition of the heat kernel in a manifold M
• The hyperbolic space Hn
• Function spaces on Hn
These topics are not presented in an extensive way, due to the fact that they are not
the main focus of study in this thesis.
The second chapter includes in detail the proofs of Hardy and Poincare inequalities
in Hn. Utilizing the second inequality we estimated the asymptotic behavior of the
solution for the heat equation in Hn.
The third chapter contains a detailed proof for the heat kernel where the case is
n=3. This proof is elementary from a theoretical point of view, however it required
extensive and complicated calculations.
The fourth and final chapter of this thesis is dedicated to the main objective of
this study, which was to prove a formula, for the heat kernel in the hyperbolic space
Hn. Similar proofs have already been discovered before, like the one presented in
the article [2] written by E. B. Davies and N. Mandouvalos. Nevertheless, in this
thesis a completely different approach was adopted, utilizing:
1 The existing relation between the heat kernel and the kernel of the wave
equation and
2 The formula for the kernel of the wave equation in symmetric spaces.
(EN)
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa
