δείτε την πρωτότυπη σελίδα τεκμηρίου στον ιστότοπο του αποθετηρίου του φορέα για περισσότερες πληροφορίες και για να δείτε όλα τα ψηφιακά αρχεία του τεκμηρίου*
Index theorems via groupoids, KK theory and cyclic cohomology
Την δεκαετία του 1960, οι Atiyah και Singer έδωσαν μια τεράστια γενίκευση
μιας σειράς αποτελεσμάτων που συνδέουν την Τοπολογία με την Ανάλυση. Το
θεώρημα Atiyah-Singer γενικεύει ταυτόχρονα το κλασσικό θεώρημα
Gauss-Bonnet, τη θεωρία Chern-Weil, καθώς και το θεώρημα Riemann-Roch. Το
αποτέλεσμα είναι ένας τύπος για τον υπολογισμό του αναλυτικού δείκτη ενός
ελλειπτικού (ψευδο)διαφορικού τελεστή, μέσω χαρακτηριστικών κλάσεων.
Η εργασία αυτή παρουσιάζει την μεταγενέστερη απόδειξη του θεωρήματος
Atiyah-Singer, χρησιμοποιώντας ομαδοειδή Lie και Κ-θεωρία. Αυτή η απόδειξη
προκύπτει από την παρατήρηση ότι ο αναλυτικός δείκτης εξαρτάται μόνο από
την κλάση του πρωτεύοντος συμβόλου στην Κ-θεωρία. Με έναυσμα αυτό, ο Alain
Connes χρησιμοποίησε ένα ομαδοειδές παραμόρφωσης για να περιγράψει την
σχέση του ελλειπτικού τελεστή με το πρωτεύον σύμβολο, μέσω της σχετικής
σύντομης ακριβούς ακολουθίας C*-αλγεβρών. Η συνοριακή απεικόνιση στην
Κ-θεωρία είναι η απεικόνιση αναλυτικού δείκτη.
Η Claire Debord έδειξε ότι τοπολογικό μέρος του θεωρήματος Atiyah-Singer
(τοπολογικός δείκτης), εκφράζεται στην Κ-θεωρία χρησιμοποιώντας και πάλι
deformation groupoids σε συνδυασμό με τον ισομορφισμό Thom. Η απόδειξη της
ισότητας των δύο δεικτών είναι ένα θεώρημα τύπου Poincare duality, το
οποίο εκφράζεται στο πλαίσιο της ΚΚ-θεωρίας του Kasparov.
Στο πλαίσιο αυτό, ο υπολογισμός του δείκτη γίνεται χρησιμοποιώντας
κατάλληλους σύγκυκλους στην κυκλική συνομολογία. Μερικά αποτελέσματα έχουν
δοθεί από τους Pflaum-Posthuma-Tang.
(EL)
In the 1960s, Atiyah and Singer gave a vast generalisation of a series of
results connecting Topology with Analysis. The Atiyah-Singer theorem
generalises the classical Gauss-Bonnet theorem, Chern-Weil theory and the
Riemann-Roch theorem. It gives a formula for the calculation of the
analytic index of an elliptic (pseudo)differential operator using
characteristic classes.
This dissertation presents the recent proof of the Atiyah-Singer theorem
using Lie groupoids and K-theory. This proof arises from the observation
that the analytic index depends only from the class of the principal
symbol in K-theory. Starting from this, Alain Connes used a deformation
groupoid and its associated extension of C* algebras to describe the
relation of the elliptic operator with its principal symbol. The
connecting map in K-theory is the analytic index.
Claire Debord showed that the topological index can also be expressed in
K-theory using deformation groupoids and the Thom isomorphism. The proof
of the equality of the two indices is a Poincare duality type theorem,
expressed through Kasparov's KK-theory.
In this framework, the calculation of the index can be possible by the
pairing of K-theory with cyclic cohomology. Partial results in this
direction have been given by Pflaum-Posthuma-Tang.
(EN)
*Η εύρυθμη και αδιάλειπτη λειτουργία των διαδικτυακών διευθύνσεων των συλλογών (ψηφιακό αρχείο, καρτέλα τεκμηρίου στο αποθετήριο) είναι αποκλειστική ευθύνη των αντίστοιχων Φορέων περιεχομένου.
Βοηθείστε μας να κάνουμε καλύτερο το OpenArchives.gr.
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
