1. Home page
  2. Search

Index theorems via groupoids, KK theory and cyclic cohomology

This item is provided by the institution :
/aggregator-openarchives/portal/institutions/uoa   

Repository :
Pergamos Digital Library   

see the original item page
in the repository's web site and access all digital files if the item*



Index theorems via groupoids, KK theory and cyclic cohomology
Μελάς Δημήτριος-Χρυσοβαλάντης (EL)
Melas Dimitrios-Chrysovalantis (EN)
born_digital_postgraduate_thesis
Διπλωματική Εργασία (EL)
Postgraduate Thesis (EN)
2024
Την δεκαετία του 1960, οι Atiyah και Singer έδωσαν μια τεράστια γενίκευση μιας σειράς αποτελεσμάτων που συνδέουν την Τοπολογία με την Ανάλυση. Το θεώρημα Atiyah-Singer γενικεύει ταυτόχρονα το κλασσικό θεώρημα Gauss-Bonnet, τη θεωρία Chern-Weil, καθώς και το θεώρημα Riemann-Roch. Το αποτέλεσμα είναι ένας τύπος για τον υπολογισμό του αναλυτικού δείκτη ενός ελλειπτικού (ψευδο)διαφορικού τελεστή, μέσω χαρακτηριστικών κλάσεων. Η εργασία αυτή παρουσιάζει την μεταγενέστερη απόδειξη του θεωρήματος Atiyah-Singer, χρησιμοποιώντας ομαδοειδή Lie και Κ-θεωρία. Αυτή η απόδειξη προκύπτει από την παρατήρηση ότι ο αναλυτικός δείκτης εξαρτάται μόνο από την κλάση του πρωτεύοντος συμβόλου στην Κ-θεωρία. Με έναυσμα αυτό, ο Alain Connes χρησιμοποίησε ένα ομαδοειδές παραμόρφωσης για να περιγράψει την σχέση του ελλειπτικού τελεστή με το πρωτεύον σύμβολο, μέσω της σχετικής σύντομης ακριβούς ακολουθίας C*-αλγεβρών. Η συνοριακή απεικόνιση στην Κ-θεωρία είναι η απεικόνιση αναλυτικού δείκτη. Η Claire Debord έδειξε ότι τοπολογικό μέρος του θεωρήματος Atiyah-Singer (τοπολογικός δείκτης), εκφράζεται στην Κ-θεωρία χρησιμοποιώντας και πάλι deformation groupoids σε συνδυασμό με τον ισομορφισμό Thom. Η απόδειξη της ισότητας των δύο δεικτών είναι ένα θεώρημα τύπου Poincare duality, το οποίο εκφράζεται στο πλαίσιο της ΚΚ-θεωρίας του Kasparov. Στο πλαίσιο αυτό, ο υπολογισμός του δείκτη γίνεται χρησιμοποιώντας κατάλληλους σύγκυκλους στην κυκλική συνομολογία. Μερικά αποτελέσματα έχουν δοθεί από τους Pflaum-Posthuma-Tang. (EL)
In the 1960s, Atiyah and Singer gave a vast generalisation of a series of results connecting Topology with Analysis. The Atiyah-Singer theorem generalises the classical Gauss-Bonnet theorem, Chern-Weil theory and the Riemann-Roch theorem. It gives a formula for the calculation of the analytic index of an elliptic (pseudo)differential operator using characteristic classes. This dissertation presents the recent proof of the Atiyah-Singer theorem using Lie groupoids and K-theory. This proof arises from the observation that the analytic index depends only from the class of the principal symbol in K-theory. Starting from this, Alain Connes used a deformation groupoid and its associated extension of C* algebras to describe the relation of the elliptic operator with its principal symbol. The connecting map in K-theory is the analytic index. Claire Debord showed that the topological index can also be expressed in K-theory using deformation groupoids and the Thom isomorphism. The proof of the equality of the two indices is a Poincare duality type theorem, expressed through Kasparov's KK-theory. In this framework, the calculation of the index can be possible by the pairing of K-theory with cyclic cohomology. Partial results in this direction have been given by Pflaum-Posthuma-Tang. (EN)
Θετικές Επιστήμες
Θετικές Επιστήμες (EL)
Science (EN)
English
Σχολή Θετικών Επιστημών » Τμήμα Μαθηματικών » ΠΜΣ Μαθηματικά » Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη και Κέντρο Πληροφόρησης » Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
University of Athens
Pergamos Digital Library
Postgraduate Thesis



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)